Enunciado

Demonstre que a distância focal de uma lente delgada biconvexa pode ser expressa em função do diâmetro D da lente, de sua espessura t e do seu índice de refração n 12 relativo ao meio.

Passo 1

Bom, sabemos que o foco f de uma lente delgada é dado por

1 f = n 12 - 1   1 R 1 - 1 R 2

Nesse expressão, R 1 e R 2 são os raios de curvatura das superfícies esféricas que dão origem a lente.

Aqui estamos trabalhando com uma lente biconvexa, que é representada a seguir:

Nesse caso, temos que R 1 = + R (esfera vermelha) e R 2 = - R (esfera azul). O sinal do raio de curvatura da esfera azul é negativo pois a orientação dela é contrária a da esfera vermelha. Com isso,

1 f = n 12 - 1 1 R - 1 - R ⇒ 1 f = n 12 - 1 2 R

Portanto,

f = R 2   n 12 - 1

Passo 2

Agora vamos usar um pouquinho de geometria analítica. A equação do círculo vermelho é

x 2 + y 2 = R 2

Note que quando x = - R + t 2 , temos que y = ± D 2 . Substituindo isso na equação:

t 2 - R 2 + D 2 2 = R 2

Portanto,

t 2 4 - t R + R 2 + D 2 4 = R 2

Ou ainda,

t R - t 2 4 = D 2 4

Aqui vem o pulo do gato: supondo que a espessura é muit pequena, o termo t 2 pode ser desprezado em comparação com os demais. Assim,

t R = D 2 4 ⇒ R = D 2 4 t

Passo 3

Substituindo na expressão do foco:

f = R 2   n 12 - 1 ⇒ f = D 2 / 4 t 2   n 12 - 1

Assim,

f = D 2 8 n 12 - 1   t

Resposta

f = D 2 8 n 12 - 1   t

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Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada simétrica. Para cada problema, a Tabela 34-8 mostra ( a ) o tipo de lente, convergente ( C ) ou divergente ( D ) , ( b ) a distancia focal f
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