Enunciado

Demonstre, a partir das eqs. de Maxwell incluindo uma corrente j → , a expressão do balanço de energia médio para um campo monocromático,

- div ⁡ S → + = 1 2 j → * ∙ E → + 2 i ω U E - U M

Onde S → + é um vetor de Poynting complexo. Interprete a parte real e a parte imaginária.

Passo 1

Então pessoal, vamos começar voltando lá na definição desse vetor de Poynting complexo:

S → + = 1 2 μ 0 E → × B → *

Beleza, essa é a equação que o livro dá pra gente.

A ideia é chegar naquela fórmula que está no enunciado, então vamos tirar o divergente dos dois lados e ver o que acontece:

div ⁡ S → + = div ⁡ 1 2 μ 0 E → × B → *

Ok, e agora precisamos lembrar de uma identidade vetorial importante. Nessa última expressão aparece o divergente de um produto vetorial:

div ⁡ E → × B → * = rot ⁡ E → ∙ B → * - E → ∙ rot ⁡ B → *

Tá, vamos jogar isso na equação ali de cima:

div ⁡ S → + = div ⁡ 1 2 μ 0 E → × B → * = 1 2 μ 0 rot ⁡ E → ∙ B → * - E → ∙ rot ⁡ B → *

div ⁡ S → + = 1 2 μ 0 rot ⁡ E → ∙ B → * - E → ∙ rot ⁡ B → *

Vamos em frente.

Passo 2

Agora é que vão entrar as equações de Maxwell. Elas vão nos dizer o rotacional de E → e de B * → :

rot ⁡ E → = - ∂ B → ∂ t rot ⁡ B → * = μ 0 j * → + 1 c 2 ∂ E * → ∂ t

Nessa última equação a gente pegou o complexo conjugado de todos os vetores, já que quem aparece na equação lá de cima é B * → .

E esses campos E → e B * → , como são monocromáticos, tem essa representação complexa aqui:

E → r , t = E → r → e - i ω t B → r , t = B → r → e - i ω t         ⇒           E → * r , t = E → r → e i ω t B → * r , t = B → r → e i ω t        

E já colocamos os conjugados complexos ali também. É só mudar o sinal da exponencial complexa!

Passo 3

Agora vamos substituir isso tudo na nossa equação principal:

div ⁡ S → + = 1 2 μ 0 - ∂ B → ∂ t ∙ B → * - E → ∙ μ 0 j → * + 1 c 2 ∂ E * → ∂ t

Ok, agora vamos ver como ficam essas derivadas temporais:

∂ B → ∂ t = ∂ ∂ t B → r → e - i ω t = - i ω B → r → e - i ω t = - i ω   B →

∂ E → * ∂ t = ∂ ∂ t E → r → e i ω t = i ω E → r → e i ω t = i ω   E * →

Então:

div ⁡ S → + = 1 2 μ 0 i ω   B → ∙ B → * - E → ∙ μ 0 j → * + 1 c 2 i ω   E * →

Ótimo, agora apareceram uns produtoes escalares que a gente sabe resolver! Quando você faz o produto escalar de um vetor pelo seu conjugado, olha o que acontece:

Z → ∙ Z → * = Z → 2

É o módulo quadrado! Então, fazendo isso naqueles dois produtos notáveis:

div ⁡ S → + = 1 2 μ 0 i ω B → 2 - μ 0 E → ∙ j → * - i ω c 2 E → 2

Multiplicando os dois lados por - 1 e arrumando um pouco:

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + i ω 2 μ 0 1 c 2 E → 2 - B → 2

Ok, já está ficando bem parecido com a expressão do enunciado!

Passo 4

Só falta aparecerem aqueles termos de densidade de energia elétrica e magnética. As fórmulas são essas aqui:

U E = 1 4 κ ε 0 E → 2 U M = 1 4 μ 0 B → 2

Podemos arrumar ou pouco essas equações para isolar E → 2 e B → 2 :

E → 2 = 4 κ ε 0 U E B → 2 = 4 μ 0 U M

E substituindo lá em cima:

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + i ω 2 μ 0 1 c 2 4 κ ε 0 U E - 4 μ 0 U M

Vamos tirar esse 4 de dentro dos colchetes:

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + 2 i ω μ 0 1 c 2 1 κ ε 0 U E - μ 0 U M

Tá, agora precisamos dar um jeuti nesses coeficientes. Lembra dessa relação aqui?

v = 1 κ ε 0 μ 0 = c κ

Esse v é a velocidade da onda no meio! Se a gente elevar aquela última igualdade ao quadrado:

1 κ ε 0 μ 0 2 = c κ 2         ⇒         1 κ ε 0 μ 0 = c 2 κ

Reorganizando um pouco:

1 c 2 κ ε 0 = μ 0 κ

Mas substituindo isso na nosa equação:

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + 2 i ω μ 0 μ 0 κ 2 U E - μ 0 U M

Agora dá pra cortar o μ 0 :

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + 2 i ω 1 κ 2 U E - U M

E o caso do enunciado provavelmente vêm de uma aproximação! Porque κ é muito próximo de 1 na maioria dos meios (água, ar, gas cabônico, etc.)

Então:

- div ⁡ S → + = 1 2 E → ∙ j → * + 2 i ω U E - U M

Pronto! Demonstramos a relação do enunciado.

Passo 5

A interpretação dessa equação pode ficar beeem complicada. Mas vamos fazer só um resumo.

Aquele produto escalar entre o campo elétrico e a densidade de corrente é uma medida do trabalho realizado sobre a distribuição de cargas.

Uma forma de ver isso é olhando as unidades. Vamos usar x para dizer “a unidade de medida da grandeza x . Então:

E = V m = J C   m                     e                     j = A m 2 = C m 2   s

E j = J C   m         C m 2   s = J m 3

Ou seja, é uma energia por volume! Então essa é a interpretação da parte real.

E a parte imaginária? Bom, a gente está pegando uma soma de médias de energias e multiplicando por uma frequência.

Aquela é a taxa de transferência de energia numa região do espaço!

Tudo fica mais claro se a gente reescrever essa fórmula desse jeito aqui:

2 i ω U E - U M = 1 2 E → ∙ j → * + div ⁡ S → +

1 = 2 + ( 3 )

Pronto, agora ela diz o seguinte: (1) a taxa de transferência de energia é igual ao (2) trabalho realizado sobre as cargas mais a o fluxo de energia naquela região.

Beleza, agora a equação está demonstrada e explicada!

Resposta

Demonstração.

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