Enunciado

Determine a energia potencial gravitacional da barra fina do Exemplo 11-8 e de uma partícula pontual de massa m 0 que está no eixo x em x = x 0 , onde x 0 ≥ 1 2 L . (a) Mostre que a energia potencial associada a um elemento da barra de massa d m (mostrado na Figura 11-14) e uma partícula pontual de massa m 0 é dada por

d U = - G m 0 d m x 0 - x s - G M m 0 L x 0 - x s d x s

Onde U = 0 em x 0 = ∞ . (b) Integre seu resultado da Parte (a) sobre o comprimento da barra, para determinar a energia potencial total do sistema. Generalize sua função U x 0 para qualquer posição do eixo x na região x > L / 2 , substituindo x 0 por uma coordenada genérica de x , e escreva-a como U ( x ) . (c) Calcule a força sobre m 0 em um ponto genérico x usando F x = - d U / d x e compare seu resultado com m 0 g , onde g é o campo em x 0 calculado no Exemplo 11-8.

Passo 1

(a) Tem muito coisa feia, mas se você se ligar só no que ele pede, vai dar bom!!

A energia potencial gravitacional de uma massa m 0 e d m é o seguinte:

d U = - G m 0 d m x 0 - x s

Como temos uma barra, podemos fazer o seguinte:

d m = λ d x s , onde λ = M L

d U = - G m 0 λ d x s x 0 - x s → d U = - G m 0 M L ( x 0 - x s ) d x s

Passo 2

Nesse item é só seguir o que ele diz. Portanto, vamos integrar sobre todo o comprimento da barra.

U = ∫ - L 2 L 2 - G m 0 M L ( x 0 - x s ) d x s

Assim,

U = - G m 0 M L ⋅ ∫ - L 2 L 2 1 ( x 0 - x s ) d x s

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

U = - G m 0 M L ⋅ - l n ⁡ ( x 0 - x s ) | - L 2 L 2

U = - G m 0 M L ⋅ - ln ⁡ x 0 - L 2 + ln ⁡ x 0 - - L 2

Arrumando as coisas:

U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2

Passo 3

Por último, temos o seguinte:

F x = - d U d x

Sabemos que U é o seguinte:

  U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2 = - G m 0 M L ln ⁡ x 0 + L 2 - ln ⁡ x 0 - L 2

Derivando com relação a x :

d U d x = - G m 0 M L ⋅ 1 x 0 + L 2 - 1 x 0 - L 2 = G M m 0 L L ⋅ x 0 2 - L 2 4

Portanto,

F x = - d U d x = - G M m 0 x 0 2 - L 2 4

Resposta

b) U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2

c) F x = - G M m 0 x 0 2 - L 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule, em k g f , a força de atração gravitacional entre duas esferas idênticas de chumbo de raio igual a 50 c m , encostadas uma na outra. A densidade do chumbo é de 11,3 g c m 3 .
Um fio homogêneo de massa M tem a forma de um anel circular de raio a . Calcule a força de atração gravitacional exercida pelo fio sobre uma partícula de massa m situada sobre o eixo (perpendicular ao
Considere um fio retilíneo homogêneo de massa M e comprimento L e uma partícula de massa m alinhada com o fio, à distância D de uma extremidade. Mostre que a força de atração gravitacional exercida pe
Uma barra fina, de massa M = 5,00g , tem a forma de uma semicircunferência de raio R = 0,650m . (a) Qual é a força gravitacional que a barra exerce sobre uma partícula de massa m = 3,0.10 - 3k g situa