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Um disco com raio igual a 25,0   c m está livre para girar em torno de um eixo perpendicular a ele e que passa pelo seu centro. Ele possui um fio delgado, porém forte, enrolado em torno da sua borda e o fio está preso a uma bola que é puxada tangencialmente afastando-se da borda do disco ( F i g u r a   9.33 ). O módulo da força de puxar aumenta e produz uma aceleração da bola, que segue a equação a t = A t , onde t está em segundos e A é uma constante. O cilindro parte do repouso e, ao final do terceiro segundo, a aceleração da bola é 1,80   m / s 2 . a) Determine A. b) Expresse a aceleração do disco em função do tempo. c) Quanto tempo depois de começar a girar o disco atinge uma velocidade escalar angular de 15,0   r a d / s ? d) Qual é o ângulo do giro do disco ao atingir 15,0   r a d / s ? (Sugestão: Veja a Seção 2.6.)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A aceleração angular α (aqui é a letra grega alfa) do disco está relacionada à aceleração linear a (aqui é a letra a mesmo) da bola por:

a = R α

Agora vamos lembrar que a aceleração é a variação da velocidade pelo tempo, então podemos pensar que a velocidade é a integral da aceleração em um espaço de tempo. E por que estou falando isso?

Como a aceleração não é constante, vamos usar:

ω - ω 0 = ∫ 0 t α d t

Do mesmo modo, que para relação da velocidade e variação angular (deslocamento), teremos:

θ - θ 0 = ∫ 0 t ω d t

Assim estamos relacionando θ , ω , α e t   para o disco.

Lembrando como realizar uma integral de potencia:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Agora vamos separar os dados:

Em a = R α , α é dado em r a d / s 2

O cilindro parte do repouso, então: ω 0 = 0

Ao final do terceiro segundo significa que t = 3 s

A aceleração é: a = 1,80   m / s 2

Agora bora aplicar tudo!

Passo 2

  1. Queremos determinar A da função a t = A t , isso implica que:
  2. A = a t = 1,80   m / s 2 3 s = 0,600 m / s 3

    Passo 3

  3. E então para calcularmos α , partimos da equação:
  4. a = R α

    Isso implica que:

    α = a R = 0,600 m / s 3 t 0,250 m = 2,40 r a d / s 3 t

    Passo 4

  5. Então, vamos calcular ω , fazendo
  6. ω - ω 0 = ∫ 0 t α d t

    pois a aceleração varia.

    Como ω 0 = 0 e encontramos α = 2,40 r a d / s 3 t , ficamos com:

    ω = ∫ 0 t 2,40 r a d / s 3 t d t = 2,40 r a d / s 3 ⋅ t 2 2 = 1,20 r a d / s 3 ⋅ t 2

    Pronto, temos que ω = 2,40 r a d / s 3 ⋅ t 2 .

    E sabemos que a velocidade escalar atinge ω = 15 r a d / s .

    Então, basta isolarmos t . Dessa forma:

    t = 15 r a d / s 1,20 r a d / s 3 = 3,54 s

    Passo 6

  7. E para calcularmos o ângulo de giro, calculamos através da equação:

θ - θ 0 = ∫ 0 t ω d t

Portanto, temos que:

θ - θ 0 = ∫ 0 t 1,20 r a d / s 3 ⋅ t 2 d t = 1,20 r a d / s 3 ⋅ t 3 3 = 0,400 r a d / s 3 t 3

Então, para t = 3,54 s :

θ - θ 0 = 0,400 r a d / s 3 ( 3,54 s ) 3

θ - θ 0 = 17,7 r a d

Resposta

  1. A = 0,600 m / s 3
  2. α = 2,40 r a d / s 3 t
  3. t = 3,54 s
  4. θ - θ 0 = 17,7 r a d

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