Enunciado

Em um CD, a música é codificada em uma configuração de minúsculos sulcos dispostos ao longo de uma trilha que avança formando uma espiral do interior à periferia do disco. À medida que o disco gira no interior de um aparelho de CD, a trilha é varrida com velocidade linear constante v = 1,25   m / s . Como o raio da trilha espiral aumenta à medida que o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar enquanto o CD está girando. (Veja o Exercício 9.20 .) Vejamos qual é a aceleração angular necessária para manter v constante. A equação de uma espiral é dada por r θ = r 0 + β θ , onde r 0 é o raio da espiral para θ = 0 e β é uma constante. Em um CD, r 0 é o raio interno da trilha espiral. Considerando o sentido da rotação do CD como positivo, β deve ser positivo, de modo que r e θ crescem à medida que o disco gira. (a) Quando o disco gira através de um pequeno ângulo d θ , a distância varrida ao longo da trilha é d s = r d θ . Usando a expressão anterior para r θ , integre d s para calcular a distância total s varrida ao longo da trilha em função do ângulo total u descrito pela rotação do disco. (b) Como a trilha é varrida com velocidade linear constante v , a distância total s encontrada na parte (a) é igual a v t . Use esse resultado para achar θ em função do tempo. Existem duas soluções para θ ; escolha a positiva e explique por que devemos escolhê-la. (c) Use sua expressão de r ( θ ) para determinar a velocidade angular ω z e a aceleração angular α z em função do tempo. O valor de α z é constante? (d) Em um CD, o raio da trilha mais interna é igual a 25,0   m m , o raio da trilha cresce 1,55   m m em cada volta e o tempo de duração é igual a 74,0   m i n . Calcule os valores de r 0 e de β e ache o número total de voltas feitas durante o tempo total da reprodução do som. (e) Usando os resultados obtidos nos itens (c) e (d), faça um gráfico de ω z (em rad/s) versus t e um gráfico de α z (em rad/s2) versus t d e s d e   t = 0 até t = 74,0   m i n .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância total s varrida ao longo da trilha em função do ângulo total, usar esse resultado para achar θ em função do tempo, determinar a velocidade angular ω z e a aceleração angular α z em função do tempo, calcular os valores r 0 e de β e esboçar um gráfico da velocidade e da aceleração angular em função do tempo, usando os dados obtidos.

Então, vamos lá!

Passo 2

  1. Calculando a distância total, vamos ter:

d s = r d θ

d s = r 0 d θ + β θ d θ cos ⁡ θ

d s = r 0 θ + β 2 θ 2

Onde θ deverá estar em radianos.

Passo 3

b) Temos

s = v t = r 0 θ + β 2 θ 2

E uma solução positiva será

θ t = 1 β n 2 + 2 β v t - r 0

A solução negativa seria voltar para valores de r menores do que r 0 .

Passo 4

c) Derivando a equação obtida no passo anterior, temos a velocidade angular:

ω z t = d θ d t

ω z t = v r 0 2 + 2 β v t

E derivando mais uma vez, obtemos a aceleração angular:

α z = d ω z d t

α z = - β v 2 r 0 2 + 2 β v t 3 2

Portanto, aceleração angular não é constante.

Passo 5

d) Para r 0 = 25 , 0   m m , θ deverá ser em radianos, então:

β = 155 μ m r e v 1 r e v 2 π r a d

β = 0247 μ m r a d

Usando θ ( t ) da parte b, o ângulo total girado em 74.0 m i n = 4440 s é:

θ = 1 2.47 × 10 7 m r a d 2 2.47 × 10 - 7 m r a d 1.25 m s 4440 s + 25.0 × 10 - 3 m 2 - 25.0 × 10 - 3 m

θ = 1337 × 10 5 r a d ,  

θ = 2.13 × 10 4   rev

Passo 6

e) Os gráficos estão esboçados abaixo:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. r 0 θ + β 2 θ 2
  2. θ t = 1 β n 2 + 2 β v t - r 0
  3. = - β v 2 r 0 2 + 2 β v t 3 2
  4. θ = 1337 × 10 5 r a d ,  que é  2.13 × 10 4  rev.
  5. V e r   g r á f i c o s
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