Enunciado

Um disco de raio R tem uma distribuição superficial de carga dada por σ = σ 0 r 2 / R 2 onde σ 0 é uma constante e r é a distância ao centro do disco. (a) Determine a carga total no disco. (b) Determine a expressão para o potencial elétrico a uma distância z do centro do disco no eixo que passa através do centro do disco e é perpendicular ao seu plano.

Passo 1

  1. Galera, para calcular a carga total do disco, devemos fazer
  2. q = ∫ σ   d A

    como a área é dada por A = π r 2 , segue que d A = 2 π r   d r . Assim,

    q = ∫ σ 0 r 2 R 2 2 π r   d r q = 2 π σ 0 R 2 ∫ 0 R r 3   d r q = π σ 0 R 2 2

    Passo 2

  3. Vamos considerar uma pequena faixa, de raio r . Como a uma distância r a carga total vale

q = π σ 0 2 R 2 r 4

segue que d q = 2 π σ R 2 r 3 . Assim,

d V = k d q d

onde d = r 2 + z 2 . Segue que

d V = 2 k π σ 0 r 3 r 2 + z 2 d r

Integrando de 0 a R , temos

V = 2 k π σ 0 ∫ 0 R r 3 r 2 + z 2 d r

Para calcular essa integral, fazemos r 2 + z 2 = u 2 , de modo que r   d r = u   d u . Logo,

V = 2 k π σ 0 ∫ z R 2 + z 2 u 2 - z 2 u   u ⋅ d u = 2 k π σ 0 ∫ z R 2 + z 2 u 2 - z 2   d u V = 2 k π σ 0 u 3 3 - z 2 u z R 2 + z 2 = 2 k π σ 0 R 2 + z 2 3 2 3 - z 2 R 2 + z 2 3 2 - z 3 3 + z 3 V = 2 k π σ 0 3 R 2 R 2 - 2 z 2 z 2 + R 2 + 2 z 3

Resposta

V = 2 k π σ 0 3 R 2 R 2 - 2 z 2 z 2 + R 2 + 2 z 3 .

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