1.

Considere um anel não-condutor situado no plano y z de raio interno a e raio externo b com uma densidade superficial de carga uniforme σ , como pode ser observado na figura.

a ) Calcule o potencial elétrico gerado por esta distribuição no ponto P , a uma distância d sobre o eixo x indicado na figura.

b ) A partir do resultado do item a , encontre o campo elétrico (modulo, direção e sentido) no ponto P .

c ) Calcule o trabalho realizado para trazer uma carga puntiforme Q 0 do infinito até o ponto P .

Resolução
2.

Um cilindro condutor infinito ao longo do eixo O x de raio R tem densidade de carga constante λ . Calcule o potencial a uma distância r do eixo O x do cilindro, dado que a uma distância R 0 > R ele vale V 0 . O potencial dado poderia ter sido no infinito?

Resolução
3.

Uma esfera condutora de raio a e com carga Q é envolta por uma camada esférica isolante de raio interno a e externo 2 a com densidade de carga volumétrica ρ = 3 Q / ( 4 π a 3 ) constante.

a ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço;

b ) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote potencial nulo no infinito;

Resolução
4.

Dado uma esfera condutora de raio a e carga Q envolta por uma casca esférica condutora neutra de raios interno e externo iguais a b e c . Dado que o potencial no infinito é nulo, calcule o potencial em cada região:

  • r < a
  • r ∈ a , b
  • r ∈ b , c
  • r > c
Resolução
5.

a ) Considere um disco de raio a carregado uniformemente com carga Q . Calcule o potencial elétrico ao longo do eixo a uma distancia x do centro do disco. Adote potencial nulo no infinito.

b ) Calcule o potencial elétrico no ponto O com coordenadas x = y = z = 0 devido a um cilindro de altura 2 a e raio de base a , uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga ρ . A base do cilindro está contida no plano y z e seu eixo coincide com o eixo x , conforme a figura. Sugestão: Decomponha o cilindro em discos elementares de altura d x e utilize o resultado do item (a).

Resolução
6.

Dois anéis circulares, de mesmo raio L , perpendiculares ao eixo O x , tem seus centros em x = - L e x = L . Ambos possuem a mesma carga total Q , uniformemente distribuída.

  1. Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo O x , com abscissa x , tomando tal potencial como zero no infinito ( x → ∞ ).
  2. Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
  3. Considere agora uma partícula de carga q , ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada à interação dessa partícula com o campo elétrico produzido pelos anéis!

Resolução
7.

Uma camada semiesférica isolante de raio interno a e externo b tem uma densidade volumétrica de carga que decresce com o inverso da distância r ao centro O segundo ρ r = A / r .

Dados A ,   a , b ,   q e m .

  1. Determine a carga total da camada semiesférica.
  2. Determine o potencial elétrico no ponto O da cama semiesférica. Adote potencial nulo no infinito.
  3. Se uma carga pontual q com o mesmo sinal da constante A da densidade volumétrica de carga é solta no centro O , qual é a velocidade final v f → que ela atinge?
Resolução
8.

Um fio retilíneo fino, de comprimento 2 L , está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por:

λ x = λ 0 x L

Onde λ 0 = c t e .

  1. Calcule o potencial eletrostático V x = 0 , y , z = 0 para um ponto arbitrário no eixo cartesiano Y , com ordenada y > 0 . Faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito [Sugestão: lembre-se que, para x > 0 temos simplesmente x = x ao passo que para x < 0 temos x = - x ].
  2. Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico E y x = 0 , y , z = 0 em tal ponto;
  3. Determine, por fim, a carga total de tal fio.
Resolução
9.

A figura abaixo mostra três arcos de circunferência não-condutores de raio R = 8,50   cm .

As cargas dos arcos são q 1 = 4,52   pC , q 2 = - 2,00   q 1 e q 3 = + 3,00   q 1 . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico dos arcos no centro da curvatura?

Resolução
10.
  1. A figura ( a ) a seguir mostra uma barra não-condutora de comprimento L = 6,00   m e densidade linear de cargas positiva uniforme λ = + 3,68   pC/m . Tome V = 0 no infinito.
  2. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00   m acima do ponto médio da barra?

  3. A figura b mostra uma barra idêntica à do item a , exceto pelo fato de que a metade direta agora está carregada negativamente;

O valor absoluto da densidade linear de cargas continua a ser 3,68   pC/m em toda a barra. Com V = 0 no infinito, qual o valor de V no ponto P ?

Resolução
11.

Uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q = - 25,6   p C tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71   c m e um ângulo central ϕ = 120 º . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P , o centro de curvatura da barra?

Resolução
12.

Uma placa condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas σ = 5,80 p C m 2

(a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q = + 1,60.10 - 19 C é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d = 3,56   c m da superfície da placa?

(b) Se o potencial elétrico V é definido como sendo zero na superfície da placa, qual é o valor de V no ponto P ?

Resolução
13.

Determine (a) a carga e (b) a densidade superficial de cargas de uma esfera condutora de 0,15   m de raio cujo potencial é 200   V (tomando V = 0 no infinito).

Resolução
14.

O eixo de um cilindro condutor de 3   m e t r o s de raio dista 5   m e t r o s do plano y z conforme a figura. O cilindro é infinito na direção z perpendicular ao plano da figura e todo o semiespaço x ≤ 0 é preenchido com um material condutor.

O potencial eletrostático num ponto de coordenadas ( x ,   y ,   z ) no espaço fora dos condutores é dado por

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2   v o l t s ,

onde x ,   y e z são em metros.

a ) Determine o potencial no ponto C do eixo do cilindro condutor x = 5   m ,   y = z = 0   m .

b ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores.

Resolução
15.

A figura ilustra uma coroa circular disposta no plano x - y , centrada na origem, de raio interno a = 3   m e raio externo b = 8   m . Sua carga está uniformemente distribuída e possui σ = + 18   n C / m 2 . Use k = 9   ×   10 9   N   m 2 / C 2   ou ε 0 = 9   ×   10 - 12   C 2 / N   m 2 .

a ) Considerando a referência para potenciais no infinito, encontre o valor do potencial elétrico V ( z ) num ponto qualquer do eixo z , à distância z da origem.

b ) Calcule o potencial no ponto P   ( 0 ; 0 ; 1 ; 0   m ) e o valor do trabalho realizado pela força eletrostática no deslocamento de uma carga teste q 0 =   - 2   μ C desde P até o ponto Q onde o potencial vale V Q = 820   V .

c ) Suponha que o potencial gerado pela coroa circular no ponto P ( 0 ; 0 ; 1 ; 0   m ) tenha valor V P = + 1000   V . Queremos anular o potencial em P , e para isso dispomos de uma carga pontual de valor q 1 = - 100   n C . Determine todos os pontos do espaço em que podemos posicionar a carga q 1 de modo a tornar nulo o potencial em P .

Resolução
16.

Uma casca esférica condutora de raio interno R 2 e externo R 3 é concêntrica a uma casca esférica condutora fina de raio R 1 . A casca esférica fina tem uma carga total + q e a carga total da casca externa é zero, sendo que ambas estão isoladas.

a ) Determine a densidade de carga em cada superfície da camada;

b ) Encontre as expressões para o potencial elétrico V r em todo espaço: r < R 1 , R 1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 e r > R 3 . Suponha que V r = 0 no infinito;

c ) Calcule a diferença de potencial entre os ponto A e B na camada esférica externa;

Resolução
17.

A figura à seguir mostra esquematicamente uma seção transversal de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula) colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equilíbrio eletrostático.

Algumas das linhas de campo elétrico, parcialmente desenhadas na figura, estão erradas e não podem corresponder a uma situação física real. Assinale a seguir cada linha impossível.

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7

[Atenção: nesta questão pode haver mais de um item correto].

Resolução
18.

Uma distribuição continua de cargas é constituída por um anel de raio r 2 = 10   a , com densidade linear de carga uniforme λ 2 > 0 , e um anel fracionado concêntrico de raio r 1 = a e densidade linear de carga uniforme λ 1 > 0 , ambos no plano X Z e com o mesmo eixo Y .

O anel fracionado é constituído por quatro arcos de circunferências idênticos, e cada arco é separado do seguinte por um ângulo θ , conforme a figura abaixo.

a ) Calcule o potencial elétrico gerado pela distribuição de carga no ponto P que se encontra sobre o eixo y a uma distancia d = 15   a da origem.

b ) Se o anel fracionado for girado de um ângulo β arbitrário entorno do seu eixo, o resultado mudaria? Justifique as suas afirmações.

c ) Qual deve ser o valor da razão λ 2 / λ 1 para o potencial no ponto P ser igual a zero?

d ) Trace o gráfico de λ 2 / λ 1 em função do ângulo θ . Descreva o andamento encontrado justificando as suas afirmações.

Resolução
19.

Denomina-se coroa anular um disco fino de raio externo R 2 com buraco circular concêntrico de raio interno R 1 como mostrado em figura. Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície ( σ < 0 ) .

a ) Determine a carga total Q sobre a coroa anular.

b ) A coroa anular está sobre um plano y x com seu centro na origem. Para um ponto arbitrário P sobre o eixo O x (eixo de simetria da coroa anular), determine o potencial V ( P ) (Sugestão: calcule o potencial devido a um anel de raio r e espessura d r compreendido entre R 1 e R 2 e depois extenda o resultado para a coroa anular.)

c ) Calcule agora o campo elétrico E → (módulo, direção e sentido) no ponto P .

d ) Uma carga positiva puntiforme q é inicialmente colocada a repouso no ponto P e a seguir liberada. Qual será a energia cinética T desta carga quando passa no centro O da coroa anular? (Considere neste item R 1 = a ; R 2 = 4 a ; x = 3 a )

Resolução
20.

Considere um anel não-condutor situado no plano y z de raio interno a e raio externo b com uma densidade superficial de carga uniforme σ , como pode ser observado na figura.

a ) Calcule o potencial elétrico gerado por esta distribuição no ponto P , a uma distância d sobre o eixo x indicado na figura.

b ) A partir do resultado do item a , encontre o campo elétrico (modulo, direção e sentido) no ponto P .

c ) Calcule o trabalho realizado para trazer uma carga puntiforme Q 0 do infinito até o ponto P .

Resolução
21.

Uma esfera sólida metálica de raio a e uma casca esférica bidimensional, de raio b > a são concêntricas e estão, cada uma, em equilíbrio eletrostático (sem contato). Na esfera interna, existe uma carga q , qao passo que, na casca externa, existe uma carga - q . Qual das afirmativas abaixo corresponde ao potencial eletrostático desse sistema nas regiões:

  1. 0 ≤ r ≤ a
  2. a ≤ r ≤ b
  3. b ≤ r < ∞

Considere o potencial como zero no infinito.

  1. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  2. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = 0
  3. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = 0 ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  4. V i = 0 ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  5. V i = 0 ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = 0
  6. V i = 0 ,     V i i = 0 ,     V i i i = 0
Resolução
22.

Um fio retilíneo fino, de comprimento 2 L , está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por:

λ x = λ 0 x L

Onde λ 0 = c t e .

  1. Calcule o potencial eletrostático V x = 0 , y , z = 0 para um ponto arbitrário no eixo cartesiano Y , com ordenada y > 0 . Faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito [Sugestão: lembre-se que, para x > 0 temos simplesmente x = x ao passo que para x < 0 temos x = - x ].
  2. Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico E y x = 0 , y , z = 0 em tal ponto;
  3. Determine, por fim, a carga total de tal fio.
Resolução
23.

Qual dos gráficos abaixo melhor representa o potencial eletrostático de uma esfera de raio R e carga Q > 0 uniformemente distribuída em todo o seu interior, supondo o potencial zero no infinito?

Resolução
24.

Uma esfera, de raio a e carga total Q , possui uma densidade volumar (resultante) de carga estacionária, mas não uniforme, dada por:

ρ = A r ,       ( r < a )

Onde A é uma constante e r é a distância até o seu centro. Essa esfera está envolta por uma casca esférica condutora, concêntrica, de raio interno b e raio externo c , com carga total - 2 Q , em equilíbrio eletrostático.

  1. Expresse a constante A como função de a e de Q .
  2. Quais são as densidades superficiais de carga na casca esférica condutora?
  3. Determine o campo elétrico nas quatro regiões:
    • r ∈ 0 , a
    • r ∈ a , b
    • r ∈ b , c
    • r ∈ c , ∞
  4. Determine o potencial eletrostático nas quatro regiões supracitadas, tomando-o como zero no infinito.

Resolução
25.

Dois anéis circulares, de mesmo raio L , perpendiculares ao eixo O x , tem seus centros em x = - L e x = L . Ambos possuem a mesma carga total Q , uniformemente distribuída.

  1. Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo O x , com abscissa x , tomando tal potencial como zero no infinito ( x → ∞ ).
  2. Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
  3. Considere agora uma partícula de carga q , ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada à interação dessa partícula com o campo elétrico produzido pelos anéis!

Resolução
26.

Um fio de comprimento 2 L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga – λ , onde λ é uma constante positiva.

  1. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na direção perpendicular a partir de seu ponto médio.
  2. Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado.
  3. Mesmo para grandes distâncias ( x ≫ L ) o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento do campo elétrico, como função de x , nessa aproximação? Interprete seu resultado

Resolução
27.

Uma carga puntiforme - Q está no centro de uma fina casca esférica condutora de raio a , carregada com carga + 3 Q .

Justaposta a esta casca encontra-se uma camada de material dielétrico de constante dielétrica κ , tendo raio externo b .

a ) Encontra o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b , r > b ;

b ) Calcule a ddp V b - V a ;

c ) Tomando V ∞ = 0 , calcule V r para r > b .

Resolução
28.

Uma casca esférica condutora de raio interno R 2 e externo R 3 é concêntrica a uma casca esférica condutora fina de raio R 1 . A casca esférica fina tem uma carga total + q e a carga total da casca externa é zero, sendo que ambas estão isoladas.

a ) Determine a densidade de carga em cada superfície da camada;

b ) Encontre as expressões para o potencial elétrico V r em todo espaço: r < R 1 , R 1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 e r > R 3 . Suponha que V r = 0 no infinito;

c ) Calcule a diferença de potencial entre os ponto A e B na camada esférica externa;

Resolução
29.

Uma carga total Q está distribuída por duas esferas metálicas de raios R 1 e R 2