Enunciado

Um bloco de madeira e um revólver estão firmemente fixos nas extremidades opostas de uma longa plataforma montada sobre um trilho de ar sem atrito (figura abaixo). O bloco e o revólver estão separados de uma distância L . O sistema está inicialmente em repouso. O revólver dispara uma bala que o abandona com uma velocidade v b , atingindo o bloco e nele se encravando. A massa da bala é m b e a massa do sistema revólver-plataforma-bloco é m p .

(b) Qual é a distância percorrida pela plataforma, enquanto a bala está em trânsito entre o revólver e o bloco?

Passo 1

(b) Olá, querido! Tudo bem?

Então, aqui a gente tem uma situação formada pelo revólver, a bala, a plataforma e o bloco. Tá todo mundo em repouso inicialmente. Por isso, a gente pode dizer que a quantidade de movimento inicial é nula

p i = 0

Só que a bala é disparada com velocidade v b . E isso gera uma velocidade no sentido oposto na plataforma. Aí o que o enunciado quer saber é o quanto essa plataforma anda entre o instante que a bala sai do revólver e o instante em que a bala atinge o bloco.

E para fazer isso a gente vai lembrar lá de cinemática. Considerado que a velocidade da plataforma é constante, a gente pode escrever que ela vai ser dada por

v p = Δ S Δ t

Onde v p é a velocidade da plataforma, Δ t é o tempo decorrido, ou seja, o tempo que leva para a bala sair do revólver e chegar ao bloco, e Δ S é o quanto a plataforma anda nesse tempo.

Então queremos achar Δ S :

Δ S = v p Δ t

Precisamos então da velocidade da plataforma quando a bala sai do revólver e do tempo que leva para a bala atingir o bloco. Bora descobrir!

Passo 2

O momento linear numa direção é dado por

p = m v

Sendo m a massa do corpo e v sua velocidade.

Precisamos calcular a velocidade da plataforma logo após a bala sair do revólver. Como não há forças externas na direção do movimento, há conservação de momento linear, por isso, podemos afirmar que

p i = p f

Sendo que p f é o momento linear no instante em que a bala sai do revólver, que vai ser a soma do momento linear da bala com o momento linear da plataforma (formada pela base, o bloco e o revólver, já que todos estão fixados um ao outro). Então escrevemos:

p f = m b v b + m p v p

Só que isso é igual a p i que por sua vez é igual a zero como vimos no primeiro passo. Então temos p i = p f = 0 . Substituindo:

0 = m b v b + m p v p

Isolando a velocidade da plataforma:

m b v b =   - m p v p

v p =   - m b m p v b

Passo 3

Agora a gente precisa de Δ t . Para achar esse cara, precisamos saber a velocidade da bala em relação a plataforma (velocidade relativa). Por quê?

Imagina que você está no ônibus (em movimento) e sai correndo do fundo do ônibus até a frente. Para saber o tempo que você levou você precisa usar a distância percorrida dentro do ônibus e sua velocidade relativa ao ônibus certo?

Se usar a sua velocidade em relação ao solo o resultado fica errado, porque essa velocidade é influenciada pela velocidade do ônibus.

Mesma coisa aqui! A distância L está sobre a plataforma. Aí para saber o tempo que leva para a bala percorrer esse caminho, a gente precisa da velocidade da bala em relação a plataforma!

Aí precisamos montar aquela equaçãozinha de velocidade relativa:

v b = v r e l + v p

Ou seja, a velocidade da bala em relação ao solo é igual a velocidade relativa da bala em relação a plataforma v r e l somada a velocidade da plataforma. Isolando a velocidade v r e l :

v r e l =   v b -   v p

Substituindo aí a expressão que a gente achou para v p :

v r e l = v b +   m b m p v b

Rearrumando:

v r e l =   1 +   m b m p v b

Passo 4

Aí o tempo que a bala leva para percorrer a distância L vai ser dado pela equação da velocidade também:

v = Δ S b a l a Δ t

v r e l = L Δ t

∆ t =   L v r e l

Substituindo a expressão de v r e l :

∆ t =   L 1 +   m b m p v b

Passo 5

Agora a gente pode calcular a distância percorrida pela plataforma.

Δ S = v p Δ t

Substituindo as expressões de v p e Δ t que a gente achou:

∆ s =   m b m p v b   L 1 +   m b m p v b

∆ s   =   m b m p v b L m p +   m b m p v b

∆ s =   m b m p + m b   L

Resposta

A distância percorrida pela plataforma será:

∆ s =   m b m p + m b   L

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