Enunciado

A que distância da Terra deve estar uma sonda espacial ao longo da reta que liga nosso planeta ao Sol para que a atração gravitacional do Sol seja igual à atração da Terra?

Passo 1

Bom, queremos achar o ponto onde a força gravitacional exercida pela Terra sobre a sonda seja igual à exercida pelo Sol sobre essa mesma sonda, que está entre o Sol e Terra.

Vamos chamar a massa do Sol e da Terra de M S e M T , respectivamente, d a distância entre o centro do Sol e o centro da Terra, e r a distância entre o centro da Terra e a sonda. A força exercida pela Terra será:

F T S = G M T m r 2

E pelo Sol:

F S S = G M S m d - r 2

Isso porque a distância da sonda até o Sol é a distância total entre a Terra e o Sol ( d ) subtraída da distância entre a Terra e a sonda ( r ), já que ela está entre a Terra e o Sol.

Passo 2

Igualando as atrações gravitacionais, temos:

F T S = F S S

G M T m r 2 = G M S m d - r 2

Vamos às contas! Calma que vai dar tudo certo haha. Queremos isolar r , primeiro, vamos colocar tudo que tem r de um lado:

d - r 2 r 2 = G M S m G M T m

Vamos simplificar o cara da direita:

d - r 2 r 2 = M S M T

Como os termos da fração estão todos ao quadrado:

d - r r 2 = M S M T

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

d - r r = M S / M T  

Separando a fração da esquerda:

d r - 1 = M S / M T  

d r = 1 + M S M T

Isolando r :

r = d 1 + M S / M T

Podemos achar os valores de M S , M T e d no apêndice C do livro, substituindo eles:

r = 15 0 × 10 9 1 + 1,99 × 10 30 k g 5,98 × 10 24 k g

r = 2,6 × 10 8 m

Assim, a distância da sonda até o centro do nosso planeta deve ser de 260 × 10 6 m

Resposta

A distância de 260 × 10 6   m

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