Enunciado

54. Diz-se que Galileu descobriu um princípio básico do pêndulo – o de que o período independe da amplitude – usando sua pulsação para medir o período das oscilações dos candelabros de uma catedral, postos em movimento pela brisa. Suponha que uma oscilação de um candelabro leve 5,5   s .

a. Qual é o comprimento da corrente do candelabro?

b. Que valor de velocidade máxima atinge o candelabro se sua posição angular máxima, em relação à vertical, é de 3,0 ° ?

Passo 1

a) Bom! Essa primeira letra é moleza! Já estamos cansados de saber que o período de oscilação de um pêndulo é dado por...

T = 2 π L g

Sendo assim, considerando que o candelabro tem comportamento pendular, L na verdade, vai ser o comprimento da corrente do candelabro e justamento o que queremos obter aqui.

Logo, isolando L ...

T = 2 π L g

T 2 = 4 π 2 L g

L = T 2 g 4 π 2

E substituindo os valores numéricos adequados...

L = T 2 g 4 π 2

L = ( 5,5   s ) 2 ⋅ ( 9,81   m / s ² ) 4 π 2

L ≅ 7,5   m

Obtemos a resposta pra essa primeira parte!

Passo 2

b) Nessa letra, estamos nos deparando com talvez, a questão mais repetida da história dos livros de física, a velha questão do pêndulo.

Esssa questão cai em Termologia, cai em Mecânica, cai em Ondulatória. Só faltava cair em Óptica! Aí é o fim da picada!

Sem perder tempo! Todo mundo aqui já sabe o que tem que fazer, né!?

É só usar a conservação da energia! Mas como a gente é cuidadoso, antes, vamos fazer um esboço do problema....

É claro que isso é uma bola! Mas pelo bem da humanidade, bora fingir que é um candelabro, né!?

E em seguida, vamos usar a conservação da energia. No caso, igualaremos as energia em A e em B :

E A = E B

Quando o candelabro passa pelo ponto B , a energia potencial dele é nula e ele está em sua velocidade máxima. Já quando ele atinge A , a velocidade se anula e o único tipo de energia presente, é a potencial gravitacional. Desse modo...

m v B 2 2 = m g h A

v B 2 = 2 g h A

v B = 2 g h A

Como queremos a velocidade máxima v B , a incógnita aqui, é a altura h A .

Bem! Não é mais! Pela figura, podemos ver que h A é dada por...

h A = L - L cos ⁡ 3 °

O que nos faz ficar com...

v B = 2 g h A

v B = 2 g L ( 1 - cos ⁡ 3 ° )

E como da letra anterior, sabemos o valor de L :

v B = 2 g L ( 1 - cos ⁡ 3 ° )

v B = 2 ( 9,81   m / s ² ) ( 7,5   m ) ( 1 - cos ⁡ 3 ° )

v B = 0,45   m / s

Descobrimos nossa resposta e nos vemos na próxima!

Tcccccchauuu!

Resposta

a)

L ≅ 7,5   m

b)

v B = 0,45   m / s

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