Enunciado

58. Uma das extremidades de uma haste de 15   c m de comprimento é fixada por um pino. Uma bola de argila de 20   g é presa à outra extremidade. Qual é o período se o bastão e a argila balançam como um pêndulo?

Passo 1

Se liga só! Pra essa questão não ficar “mamão com açúcar”, bora considerar que nosso bastão tem uma massa de 200   g . De acordo com a figura abaixo...

Desse modo, o momento de inércia total desse nosso sistema, vai ser dado pela soma do momento de inércia da haste com o momento de inércia da bola em relação ao eixo de rotação. Logo, pelo teorema dos eixos perpendiculares...

I t o t a l = I h a s t e + I b o l a

I t o t a l = 1 3 m h a s t e L 2 + m b o l a L 2

Substituindos os valores numéricos de cada variável....

I t o t a l = 1 3 m h a s t e L 2 + m b o l a L 2

I t o t a l = 1 3 ( 0,200   k g ) 0,15   m 2 + ( 0,020   k g ) ( 0,15   m ) 2

I t o t a l = 1,95 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2

Passo 2

Em seguida, bora calcular o valor do centro de massa desse sistema. Considerando, é claro, que ele esteja localizado na direção em que está a haste.

A fórmula do centro de massa é dada por...

y c m = ∑ m i y i ∑ m i

Onde ∑ m i y i representa o somatório do produto da massa pela posição de seu centro de massa e ∑ m i representa o somatório das massas.

Desse modo, levando para a situação do nosso problema, o centro de massa vai ser...

y c m = 200   g ⋅ ( 7,5   c m ) + ( 20   g ) ⋅ ( 15   c m ) 200   g + 20   g

y c m = 8,18   c m = 8,18 ⋅ 10 - 2   m

Passo 3

E obtida a posição do centro de massa, vamos usar a fórmula abaixo para a frequência angular em um pêndulo...

f = 1 2 π M g l I

Onde l é a distância entre o eixo de rotação e o eixo do centro de massa, ou seja o nosso y c m . Substituindo assim, os valores das outras variáveis...

f = 1 2 π M g l I

f = 1 2 π 0,220   k g 9,8 m s 2 8,18 ⋅ 10 - 2   m 1,95 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2

f = 1,51   H z

Como o período é o inverso da frequência...

T = 1 f

T = 1 1,51   H z

T = 0,66   s

Pronto! Esse é o período do nosso bastão, que se comporta como um pêndulo!

Resposta

T = 0,66   s

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