Enunciado

Dois blocos ligados por um cordão (figura abaixo) deslizam para baixo sobre um plano inclinado de 10 ° . O bloco 1 tem a massa m 1 = 0,80 kg e o bloco 2 tem a massa m 2 = 0,25 kg. Ademais, os coeficientes de atrito cinético entre os blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e 0,20 para o bloco 2. Encontre (a) a magnitude da aceleração dos blocos e (b) a tensão no cordão.

Passo 1

Letra (a)

A gente quer a magnetude da aceleração dos blocos. Então a gente pode pensar em usar a segunda lei de Newton neles:

∑ F → = m a →

E para isso a gente precisa dos diagramas de corpo livre desses dois carinhas:

Temos a tensão T   onde temos cordinha, temos força peso F g para baixo nos dois casos, e também a força normal F n porque há contato entre bloco e superfície. E temos a força de atrito cinético contrária ao movimento.

Como esses blocos estão somente sob ação da gravidade como força externa, então eles devem estar descendo a rampa, assim a força de atrito aponta para o subir da rampa, no sentido contrário ao movimento.

Os dois blocos vão descer com a mesma aceleração a porque estão ligados por um mesmo fio tensionado (esticado).

Bora lá achar esse a !

Passo 2

A segunda lei de Newton para o bloco m 1 no eixo x fica:

∑ F x = m 1 a x

Sendo que a x é a a a magnitude da aceleração dos blocos. Nessa direção temos a tensão T no sentido de x positivo, temos a componente de F g que vai valer F g x = F g   s e n   θ , e vai entrar no somatório positiva. Como F g = m g :

F g x = m g s e n θ

E temos também a força de atrito cinético nessa direção. Ela tem a expressão f k = μ c . 1 F n 1 , como aponta para x negativo, ela fica com sinal de menos. Então o somatório em x fica:

∑ F x = T + F g x . 1 - f k 1 = m 1 a  

∑ F x = T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 F n , 1 = m 1 a             ( 1 )

Já para o eixo y vamos ter que a y = 0 porque não há movimento nessa direção. Nela temos F n e F g y = F g cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ , que vai entrar negativa no somatório pois aponta para y negativo:

∑ F y = m 1 a y

∑ F y = 0

F n . 1 - m 1 g c o s θ = 0      

F n . 1 = m 1 g c o s θ             ( 2 )

Substitui (2) em (1):

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a             ( 3 )

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa, só que no bloco 2.

As equações de x e y ficam quase iguais. A diferença é que a massa agora é m 2 (vamos mudar isso e os demais índices de 1 para 2) e a tensão T está no sentido inverso de x , ficando negativa na equação da segunda lei de Newton desse eixo.

Para o eixo x então vamos ter

∑ F x = m 2 a x

∑ F x = T + F g x 2 - f k 2 = m 2 a  

∑ F x = m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 F n , 2 = m 2 a             ( 4 )

E para o eixo y a equação fica igual a do outro bloco, só mudamos os índices:

∑ F y = 0

F n , 2 = m 2 g c o s θ             ( 5 )

Substitui (5) em (4):

m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ = m 2 a

m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ = m 2 a             ( 6 )

Passo 4

A gente ainda não quer a tensão T (isso fica para a letra b), só a aceleração. E temos essas duas equações a partir de cada bloco:

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a             ( 3 )

m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ = m 2 a             ( 6 )

Então podemos sumir com a tração T somando (3) com (6):

( T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ ) + ( m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ ) = m 1 a + m 2 a

g s e n θ m 1 + m 2 - g c o s θ μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 = a m 1 + m 2

Agora isola o a :

a = g s e n θ m 1 + m 2 m 1 + m 2 - g c o s θ μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2

a = g s e n θ - g μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2 c o s θ

a = g s e n θ - μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2 c o s θ

Passo 5

Agora a gente substitui os valores:

a = ( 9,81   m / s 2 ) s e n 10 ° - 0,20 0,25   k g + 0,30 0,80   k g 0,25   k g + 0,80   k g c o s 10 °

a = - 0,9647

Para saber a magnitude a gente tira o módulo:

a = 0,9 6   m / s 2

Essa aceleração negativa diz que os blocos estão perdendo velocidade enquanto deslizam.

Passo 6

Letra (b)

Como a gente tem o valor de a , podemos substituir em uma das equações que a gente tem para achar T . Vamos usar (3):

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a  

T = - m 1 g s e n θ + μ c , 1 m 1 g c o s θ + m 1 a

T = m 1 - g s e n θ + μ c , 1 g c o s θ + a

Substituindo os valores, lembrando de usar a = - 0,9647 que foi o que a gente tirou diretamente do sistema:

T = 0,8 - 9,81   s e n   10 ° + 0,3 × 9,81 × cos ⁡ 10 ° - 0,9 647  

T = 0,18   N

Resposta

Letra (a): a = 0,96   m / s 2

Letra (b): T = 0,18   N

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