Enunciado

Um bloco de 150   g é projetado rampa acima, com uma rapidez inicial de 7,0   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre a rampa e o bloco é 0,23 , (a) Se a rampa está inclinada de 25 ° em relação à horizontal, qual é a distância que o bloco percorre sobre a rampa até parar? (b) O bloco volta, então, rampa abaixo. Qual é o menor coeficiente de atrito estático, entre o bloco e a rampa, capaz de evitar que o bloco escorregue de volta?

Passo 1

O diagrama abaixo mostra as forças que atuam sobre o bloco quando ele desliza sobre a rampa. Note que o bloco é acelerado por   f k → (força de atrito cinético) e o componente x de F g → . Nós podemos usar a equação de Torricelli para expressar o deslocamento do bloco pela rampa como função de sua aceleração e usar a Segunda lei de Newton para encontrar a aceleração do bloco à medida que desliza pela rampa.

Passo 2

Item (a)

Usando a equação de Torricelli, temos:

v x 2 = v 0 x 2 + 2 a x Δ x

Como a velocidade final v x = 0 , então:

Δ x = - v 0 x 2 2 a x

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x:

∑ F x = m a x ⇒   - f k - F g s e n θ = m a x

E a 2° Lei de Newton em y, como a soma das forças em y é igual a zero, pois o bloco não sobe nem desce na rampa no eixo y, então:

∑ F y = F n - F g c o s θ = 0

Passo 3

Substituindo f k = μ k F n e F g = m g na equação das somas das forças em x, temos:

- μ k F n - m g s e n θ = m a x

E substituindo no somatório das forças em y e multiplicando toda a equação por μ k :

μ k F n - μ k m g c o s θ = 0

Somando as duas equações acima:

- m g s e n θ - μ k m g c o s θ = m a x ⇒ a x = - ( s e n θ + μ k c o s θ ) g

Substituindo no resultado da equação de Torricelli:

Δ x = v 0 x 2 2 ( s e n θ + μ k c o s θ ) g

Substituindo por valores numéricos:

Δ x = 7,0 m s 2 2 0,23 c o s 25 ° + s e n 25 ° 9,81 m s 2 = 3,957   m = 4,0   m

Passo 4

Item (b)

No ponto em que o bloco está instantaneamente em repouso, atrito estático torna-se operativa e, se o coeficiente de atrito estático é muito alto, o bloco não retomará o movimento, mas permanecerá nesse ponto. Podemos determinar o máximo possível

valor de μ s   para o qual o bloco ainda desliza para baixo considerando a inclinação e a igualdade da força de atrito estática e o componente do peso do bloco para baixo.

Passo 5

Usando a 2° Lei de Newton no eixo x:

∑ F x = m a x ⇒   f s - F g s e n θ = 0

E no eixo y:

∑ F y = F n - F g c o s θ = 0 ⇒ F n = F g c o s θ

Como f s = μ s F n :

μ s F n - F g s e n θ = 0 ⇒ μ s F g c o s θ - F g s e n θ = 0 ⇒ μ s c o s θ - s e n θ = 0 ⇒ μ s = t a n θ

Substituindo o valor de θ :

μ s = t a n 25 ° = 0,47

Resposta

a   Δ x = 4,0   m

b     μ s = 0,47

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