Enunciado

Os dois dipolos vistos na Figura 22.15 se situam sobre o plano y z . Calcule: (a) o torque exercido sobre o dipolo alinhado com o eixo dos y ; (b) o torque total sobre o sistema.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Partiu fazer mais uma questão sobre campo magnético de um dipolo!

A própria questão já forneceu para gente um sistema de coordenadas para trabalhar. Note que o eixo x é perpendicular da tela, saindo dela para sua direção! Vamos chamar o dipolo na origem de dipolo 1 com μ → 1 = μ   k → e o outro dipolo de 2, com μ → 2 = - μ   j → .

Para calcular o torque sobre cada dipolo, temos que saber o campo magnético na posição de cada dipolo. A brincadeira é a seguinte: o dipolo 1 vai exercer um campo sobre o dipolo 2. Esse campo vai interagir com o dipolo 2 e dar origem ao torque:

τ → 2 = μ → 2 × B → 1

Na equação 22.21 do livro foram apresentadas as componentes do campo magnético produzido por um dipolo magnético:

B x = μ 0 μ 4 π ⋅ 3 x z r 5 ,             B y = - μ 0 μ 4 π ⋅ 3 y z r 5               e             B z = μ 0 μ 4 π 3 z 2 r 5 - 1 r 3

Essas expressões são válidas quando o dipolo está alinhado no eixo x , como é a situação do dipolo 1. A posição do dipolo 2 (onde vamos calcular o campo) é dada por

x 2 = 0 ,               y 2 = r cos ⁡ 45 °                 e               z 2 = r   s e n   45 °

Portanto,

x 2 = 0 ,               y 2 = z 2 = r 2 2

Daí é só jogar nas expressões dos campos:

B x = 0 ,                 B y = - μ 0 μ 4 π ⋅ 3 r 2 2 ⋅ r 2 2 r 5 = - 3 μ 0 μ 8 π r 3

B z = μ 0 μ 4 π ⋅ 3 r 2 2 ⋅ r 2 2 r 5 - 1 r 3 = μ 0 μ 8 π r 3

Passo 2

Agora que temos o campo podemos achar o torque:

τ → 2 = - μ   j → × B y   j → + B z   k → = - μ B z   i →

Com isso,

τ → 2 = - μ 0 μ 2 8 π r 3   i →

Como torque está apontando para dentro da tela, o dipolo tende a girar no sentido horário (regra da mão direita).

Passo 3

Para calcular o torque resultante temos que achar o torque sobre o dipolo 1 devido ao campo do dipolo 2. Por uma questão de simetria, o torque será o mesmo que calculamos no passo anterior, porém em sentido contrário:

τ → 1 = - μ 0 μ 2 8 π r 3   i →

Com isso, o torque resultante será nulo:

τ → = τ → 1 + τ → 2 → τ → = 0 →

Note que essa condição de torque resultante nulo é uma condição física necessária para o problema: não tem como um sistema isolado “criar” um torque sobre ele próprio.

Resposta

τ → 2 = - μ 0 μ 2 8 π r 3   i →

τ → = 0 →

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