Lista de Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère

Ver Teoria

Considere as seguintes afirmações:

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

São verdadeiras as afirmativas:

a Somente I

b I e I I

c I , I I e I I I

d I e I V

e Somente I V

Ver solução completa

Por um condutor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B → a uma distância radial s do eixo do condutor, em coordenadas cilíndricas s ,   ϕ , é igual a

a B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2   s ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   s ^ .

b B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2   ϕ ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ .

c B → s < R = μ 0 I 2 π s   s ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   s ^ .

d B → s < R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ .

e B → s < R ≠ 0 e B → s > R = 0 .

Ver solução completa

Um fio cilíndrico de raio R = 1   c m transporta uma corrente I = 2   A uniformemente distribuída por sua seção reta e com sentido saindo do papel.

a ) Encontre os raios a   e   b das espiras amperianas circulares centradas no eixo do fio para as quais o campo magnético gerado pelo fio é dado por: B → = 2 . 10 - 5 T θ ^

Ver solução completa

Determine a circulação Γ B → C i ≔ ∮ C B → ∙ d l →   i = 1,2 , 3 para as três curvas fechadas orientadas respectivamente.

  1. - μ 0 I , 0 ,   3 μ 0 I
  2. μ 0 I ,   0 ,   - μ 0 I
  3. μ 0 I ,   6 μ 0 I ,   - μ 0 I
  4. μ 0 I ,   - 6 μ 0 I ,   - μ 0 I
  5. - μ 0 I ,   0 ,   - 3 μ 0 I
  6. μ 0 I ,   0 ,   3 μ 0 I
  7. 0 ,   0 ,   0 pois todas são perpendiculares.

Ver solução completa

A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conduzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo módulo I , que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma.

Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético C i = ∮ i B → ∙ d l → i = a , b , c , d em cada curva é

a C b < C a = C c < C d .

b C a > C b > C c < C d .

c C a < C b = C d < C c .

d C d < C c = C a < C b .

e C a = C c < C b = C d .

Ver solução completa

Considere o cabo coaxial muito longo da figura ao lado, formado por duas cascas cilíndricas concêntricas com raios internos a , c e raios externos b , d , respectivamente. Uma corrente uniforme I 1 flui na casca cilíndrica interna com o sentido para fora do plano do papel e uma corrente uniforme I 2 com sentido desconhecido flui na casca cilíndrica externa.

a ) Calcule a intensidade do campo magnético nas regiões:

i ) 0 < r < a ;

i i ) a < r < b ;

i i i ) b < r < c ;

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

c ) Calcule a amplitude do campo magnético em r = 23 a em função da corrente I 1 .

Ver solução completa

Um cilindro comprido, com seu eixo orientado ao longo do eixo O z , possui uma densidade de corrente J → . A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação:

J → = 2 i 0 π a 2 1 - r a 2 k ^ , para r ≤ a ,

J = 0 , para r ≥ a ,

onde a é o raio do cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e i 0 é uma constante dada em ampères.

(a) Mostre que i 0 é a corrente total que passa através da seção reta do fio.

(b) Usando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≥ a .

(c) Obtenha uma expressão para a corrente i contida em uma seção reta circular de raio r ≤ a e centralizada sobre o eixo do cilindro.

(d) Aplicando a lei de Ampère, deduza uma empressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≤ a . Como se comparam os resultados dos itens (b) e (d) para r = a ?

Ver solução completa

Um fio retilíneo de raio R conduz uma corrente constante i . Um outro fio retilíneo de mesmo raio R também conduz uma corrente constante i , porém com sentido contrário ao da corrente que flui no primeiro fio. Estime o módulo do campo magnético B para pontos externos aos dois fios, isto é, para distâncias r (ao centro de um dos fios) maiores que 3 R . Suponha que os dois fio possuam uma fina camada de isolante e que eles estejam em contato lateral.

Ver solução completa

Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, cilíndrico, circular, de raio R , e uma casca espessa, cilíndrica, também circular, coaxial, de raios a e b , tais que R < a < b . Ambos os cilindros são muito longos. Através do fio interno, passa uma corrente elétrica, estacionária, cuja densidade de corrente é J → int = J int z ^ J int = const > 0 , enquanto que, através da casca externa, passa uma corrente elétrica, também estacionária, com densidade de corrente J → ext = - J ext z ^ J ext = const > 0 .

  1. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica no fio interno?
  2. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
  3. Determine o campo magnético em cada uma das quatro regiões típicas em que o cabo “divide” o espaço.

Ver solução completa

Seja uma superfície esférica S, dividida em duas metades S 1 e S 2 por um grande círculo C . A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que:

a O fluxo do campo magnético através de S 1 é proporcional à circulação de corrente através de C .

b A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S .

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

d O fluxo do campo magnético através de S é proporcional à circulação de corrente através de C .

e A circulação do campo magnético ao longo de C é nula.

Ver solução completa

Parte I

Em uma determinada região existe uma densidade de corrente uniforme de 30   A / m 2 no sentido positivo do eixo z .

a ) Qual é o valor de ∮ B → ∙ d s → quando a integral de linha é tomada ao longo do contorno amperiano formado pelos três segmentos de linha reta que conectam, consecutivamente, os ponto 2 d   , 0   ,   0 , 2 d   ,   3 d   ,   0 , 0   ,   0   ,   0 e ( 2 d   ,   0   ,   0 ) , onde d = 30   c m ?

Parte II

Um duto cilíndrico muito longo, com um raio externo R , conduz uma corrente (uniformemente distribuída) i 0 (no sentido saindo da página, veja a figura abaixo). Um fio corre paralelo ao duto a uma distância 3 R de centro a centro.

b ) Calcule a intensidade (em termo de i 0 ), a direção e o sentido da corrente i ' que deve passar no fio para que o campo magnético em P seja nulo.

Ver solução completa

Considere o cabo coaxial muito longo da figura abaixo, formado por um cilindro central de raio a e uma casca cilíndrica externa de raios b e c ( b < c ) , concêntrica com cilindro.

Sabendo que uma corrente I flui no cilindro e uma corrente – I flui na casca cilíndrica (em sentidos opostos):

a ) Calcule o campo magnético B → (módulo, direção e sentido) em todas as regiões do espaço considerando que as corrente estão uniformemente distribuídas nas seções transversais do cilindro e da casca cilíndrica.

b ) Faça um gráfico do módulo de B → em função do raio (distância ao centro do cabo).

Ver solução completa

Um fio extremamente longo é dobrado na forma mostrada na figura, de forma a evitar o contato no ponto de cruzamento O . O raio da parte circular é R e a corrente I tem o sentido indicado.

a ) Determine a contribuição da parte linear do fio para o vetor campo magnético no centro C e no ponto A do círculo.

b ) Determine a contribuição da parte circular do fio para o vetor campo magnético no centro C do círculo e o vetor campo magnético total no mesmo ponto.

Em seguida, a parte circular do fio é girada de 90 ° , sem distorção, em torno do eixo z , tornando-se perpendicular à parte linear, de tal forma que a nova posição do ponto A tem coordenada x positiva.

c ) Determine uma expressão para o vetor campo magnético total no centro C do círculo.

Ver solução completa

Um fio cilíndrico de raio R = 1   c m transporta uma corrente I = 2   A uniformemente distribuída por sua seção reta e com sentido saindo do papel.

a ) Encontre os raios a   e   b das espiras amperianas circulares centradas no eixo do fio para as quais o campo magnético gerado pelo fio é dado por: B → = 2   x   10 - 5 T θ ^

Ver solução completa

Considere o cabo coaxial muito longo da figura ao lado, formado por duas cascas cilíndricas concêntricas com raios internos a , c e raios externos b , d , respectivamente. Uma corrente uniforme I 1 flui na casca cilíndrica interna com o sentido para fora do plano do papel e uma corrente uniforme I 2 com sentido desconhecido flui na casca cilíndrica externa.

a ) Calcule a intensidade do campo magnético nas regiões:

i ) 0 < r < a ;

i i ) a < r < b ;

i i i ) b < r < c ;

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

c ) Calcule a amplitude do campo magnético em r = 23 a em função da corrente I 1 .

Ver solução completa

A figura abaixo representa a seção transversal de uma casca cilíndrica muito longa, com raio interno a e raio externo b . No interior desta casca cilíndrica, existe uma corrente axial I . A derivada da corrente elétrica I com respeito ao raio r é dada pela função d I d r = 2 π k r 2 .

a ) Calcule a intensidade do campo magnético em função do raio r quando 0 < r < a .

b ) Calcule a expressão da corrente elétrica I em função de r .

c ) Calcule a expressão da intensidade do campo magnético em função do raio r quando a < r < b .

Ver solução completa

a ) A Figura abaixo mostra quatro correntes iguais a i e cinco linhas amperianas ( a , b , c , d , e   ) envolvendo estas correntes.

Calcule o valor da integral ∮ B → ∙ d s → ao longo das curvas amperianas nas direções dadas.

b ) Define-se densidade superficial de corrente elétrica a grandeza: J = d I d A , onde I é a corrente e A é a área da superfície considerada.

Considere agora um fio muito longo de seção circular e de raio a = 3   m m onde passa uma densidade de corrente J com direção paralela ao eixo central. O módulo desta densidade de corrente varia linearmente com o raio r do fio de acordo com a equação J = J 0 r a , onde J 0 = 300   A / m ² é uma constante. Determine, usando a lei de Ampere o campo magnético B em r = a 2 .

Ver solução completa

  1. Determine o vetor campo magnético B → r a uma distância r de um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade i .
  2. Determine o vetor campo magnético B → c no centro de uma espira circular de raio a percorrida por uma corrente elétrica estacionária de intensidade i .
  3. A figura mostra um fio retilíneo longo, paralelo ao eixo Z que é percorrido por uma corrente elétrica estacionária i e apresenta uma dobra circular de raio a , pertencente ao plano X Y . Sabendo que o fio é recoberto por um esmalte isolante, utilize os resultados obtidos nos itens anteriores para determinar o campo magnético B → resultante no centro da dobra circular.

Ver solução completa

Considere três situações independentes, envolvendo correntes estacionárias de intensidade com módulo I > 0 e as correspondentes curvas ampèrianas C i . Qual é a circulação Γ i ≔ ∮ C i B → ∙ d l → em cada uma das situações?

  1. Γ 1 = - μ 0 I , Γ 2 = 0 , Γ 3 = 0
  2. Γ 1 = μ 0 I , Γ 2 = 0 , Γ 3 = 0
  3. Γ 1 = - μ 0 I , Γ 2 = 0 , Γ 3 = 2 μ 0 I
  4. Γ 1 = - μ 0 I , Γ 2 = 0 , Γ 3 = - 2 μ 0 I
  5. Γ 1 = - μ 0 I , Γ 2 = - 2 μ 0 I , Γ 3 = - 2 μ 0 I

Ver solução completa

  1. Considere um fio condutor retilíneo, muito longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I . Utilizando a Lei de Ampère e que o campo magnético B → r e t a provocado por tal fio retilíneo é puramente circular (ou azimutal), deduza, detalhadamente, uma expressão para tal campo, indicando, com clareza, qual a curva Amperiana utilizada (Sugestão: use coordenadas cilíndricas)
  2. Utilizando a Lei de Biot-Savart, deduza, detalhadamente, o campo magnético B → c i r c , no centro de um anel condutor circular, de raio R , percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I .
  3. Referindo-se agora à figura abaixo, temos um arame com uma parte retilínea muito longa e outra parte circular, de raio R e centro O . Utilizando os resultados dos itens anteriores, qual deve ser a posição (ordenada) y = y e r da parte retilínea do arame, de modo que o campo magnético resultante no ponto O seja nulo?

Ver solução completa

Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, cilíndrico, circular, de raio R , envolto por uma casca espessa, cilíndrica, também circular, coaxial, de raios a e b , tais que R < a < b . Ambos os cilindros são muito longos e tem o eixo comum L . Através do fio interno, passa uma corrente elétrica estacionária, cuja densidade de corrente é dada por J → i n t = C r z ^ , onde C = c o n s t > 0 e r é a distância até o eixo do fio. Através da casca externa, passa uma corrente estacionária, cuja densidade de corrente é dada por J → e x t = - J 0 z ^ , onde J 0 = const > 0 .

  1. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica no fio interno?
  2. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
  3. Determine o campo magnético B → em cada uma das quatro regiões em que o cabo “divide” o espaço.

Ver solução completa

Considere dois fios retilíneos, longos, paralelos, separados por uma distância a , pelos quais passam correntes estacionárias I e 2 I no mesmo sentido. É correto afirmar que o campo magnético resultante será nulo em uma reta coplanar com os fios paralelos aos mesmo que esteja localizada:

  1. A uma distância a / 2 de cada um dos fios.
  2. A uma distância 2 a / 3 do fio com corrente 2 I e a / 3 do fio com corrente I
  3. A uma distância a / 4 do fio com corrente 2 I e 3 a / 4 do fio com corrente I
  4. A uma distância a / 4 do fio com corrente I e 3 a / 4 do fio com corrente 2 I
  5. O campo magnético resultante devido aos dois fios não será nulo em ponto algum.

Ver solução completa

Considere uma espira retangular de lados a e b ( a > b ) e um fio retilíneo infinito, coplanar. Sabendo-se que o fio retilíneo é paralelo aos lados longos da espira e que o fio e a espira portam, respectivamente, correntes I 1 para a direita e I 2 e no sentido horário, assinale a única opção incorreta.

  1. A soma das forças nos lados curtos da espira é nula;
  2. A força em cada um dos lados curtos da espira é nula;
  3. A soma das forças nos lados longos da espira é não nula;
  4. As forças sobre os lados longos da espira estão na mesma direção;
  5. A força total sobre a espira é perpendicular ao fio retilíneo.

Ver solução completa

Considere um plano infinito com uma densidade superficial de corrente K → = K x ^ .

Sabendo que esse plano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z , qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

(Obs.: simetria plana é a simetria de translação nas direções X e Y , e simetria axial é a simetria de rotações em torno de um eixo dado)

a Pela simetria plana, o campo magnético sempre aponta na direção z ^ .

b Pela simetria axial em torno de Z , o módulo do campo magnético independe das coordenadas x e y .

c Pela simetria axial em torno de Z , o campo magnético sempre aponta na direção z ^ .

d Pela simetria plana, o módulo do campo magnético independe das coordenadas x e y .

e Pela simetria axial em torno de X , o campo magnético sempre aponta na direção x ^ .

Ver solução completa

Durante o processo de carga de um capacitor de placas paralelas por uma corrente c o n s t a n t e   i C , como se comportam os campos elétrico, E → , e magnético, B → , entre as placas do capacitor? [estacionário = não depende do tempo]

a E → ≠ 0 e não estacionário; B → ≠ 0 e estacionário

b E → ≠ 0 e estacionário; B → = 0

c E → ≠ 0 e estacionário; B → ≠ 0 e estacionário

d E → = 0 ; B → ≠ 0 e estacionário

e E → ≠ 0 e não estacionário; B → ≠ 0 e não estacionário

Ver solução completa

Dois fios retilíneos muito longos, paralelos, a uma distância de 1   m entre si, transportam, cada um, uma corrente elétrica estacionária de 1   A . O módulo da força magnética por unidade de comprimento que cada um exerce sobre o outro é:

a 4 π μ 0   A 2 / m .

b 2 π μ 0   A 2 / m .

c π μ 0   A 2 / m .

d μ 0 / π   A 2 / m  

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

f μ 0 / ( 4 π )   A 2 / m .

Ver solução completa

A figura abaixo mostra uma região atravessada perpendicularmente por várias correntes estacionárias com intensidades de mesmo módulo I . Por convenção, as correntes que saem da página são representadas por ⊙ e as que entram na página por ⊗.

Estão representados, também, três diferentes caminhos fechados, orientados, para a determinação da integral Γ ≔ ∮ C B → ∙ d l → .

Assinale a opção abaixo que melhor indica a relação entre tais integrais para os diferentes caminhos.

a Γ 1 = - Γ 2 = Γ 3

b Γ 1 = - Γ 2 e Γ 3 = 0

c Γ 1 = Γ 2 = Γ 3

d Γ 1 = Γ 2 e Γ 3 = 0

e Não podemos determinar Γ sem conhecermos as dimensões dos caminhos utilizados

Ver solução completa

Dois condutores retos, longos e paralelos, estão separados por uma distância d = 2,0   c m e são percorridos por correntes elétricas de intensidades i 1 = 1,0   A e i 2 = 2,0   A , com os sentidos indicados na figura a seguir. Sendo o comprimento dos condutores igual a 1,0   m , determine a intensidade da força magnética entre eles e diga se ela é atrativa ou repulsiva.

(a) 20   μ N , atrativa.

(b) 4 0   μ N , repulsiva.

(c) 2 0   μ N , repulsiva.

(d) 2   μ N , repulsiva.

(e) 4 0   μ N , atrativa.

Ver solução completa

A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente i , cujo vetor densidade de corrente J → é uniforme.

  1. Obtenha o módulo do campo magnético B r para r > a , b < r < a e para r < b ;
  2. Qual será o módulo de B → , no ponto P , situado em r = b , quando um fio com uma corrente 2 i for colocado tangencialmente ao longo do condutor cilíndrico, a uma distância a do centro deste?

Ver solução completa

Suponha que para a espira fechada da figura, o resultado da integral ∮ B → ⋅ d l → é - 10   T . m . Quais são a direção e o sentido da corrente no fio?

(a) .

(b)

(c) .

(d) “saindo” da página.

(e) “entrando” na página.

Ver solução completa

Um fio espesso é constituído por um cilindro condutor infinito de seção transversal circular de raio R . Nesse cilindro, passa uma densidade de corrente uniforme e estacionária dada por   J → = J   z ^ , onde   z ^ é o unitário da direção paralela ao eixo do cilindro. Nessa situação, o que se pode dizer a respeito do campo magnético produzido por esse fio?

  1. O campo magnético é nulo em qualquer ponto sobre o eixo do fio
  2. O campo magnético é paralelo ao eixo do fio em qualquer ponto no interior do mesmo
  3. O campo magnético é uniforme no interior no fio
  4. O campo magnético é perpendicular ao eixo do fio e aponta radialmente para fora em qualquer ponto no exterior do mesmo
  5. O módulo do campo magnético cai com o inverso do quadrado da distância ao eixo do fio no exterior do mesmo

Ver solução completa

Em um modelo clássico para o átomo de hidrogênio, um elétron se desloca em movimento circular uniforme com velocidade escalar v e raio R em torno de um próton fixado na origem. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como uma corrente estacionária, qual é a intensidade do campo magnético produzido por ela na posição do próton?

  1. μ 0 e v 4 π 2 R 2