Enunciado

Dois grande tanques abertos A e F (Figura 14.44) contém o mesmo liquido. Um tubo horizontal BCD, que tem uma constrição C e é aberto ao ar no ponto D, sai da base do tanque A, e um tubo vertical E parte da constrição C e mergulha no liquido do tanque F. Suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção reta da constrição C é a metade da área D e que D está a uma distancia h 1 abaixo do nivel do liquido no tanque A, até que altura h 2 o liquido subirá no tubo E? Expresse sua resposta em termos de h 1 .

Passo 1

Ei galera, aqui vamos aplicar a equação de Bernoulli e a equação de continuidade.

Como ele nos fala que o tanque A é aberto, sabemos então que não existe diferença de pressão entre os pontos do topo do tanque A e a abertura no ponto D, isso é uma regra que esse livro nos dá e que você pode entender a dedução no exemplo 14.8.

Como não temos essa diferença de pressão, vamos assumir que a velocidade do líquido no ponto D será:

v D = 2 g h 1  

Confia em mim e vamos continuar.

Passo 2

A aplicação da equação de continuidade aos pontos em C e D diz que:

A C .   v C =   A D   .   v D  

Onde:

  • A C é a área transversal do cano no ponto C;
  • v C é a velocidade do líquido no ponto C;
  • A D é a área transversal do cano no ponto D;
  • v D é a velocidade do líquido no ponto D que já conhecemos: v D = 2 g h 1

Sabe mais o que ele nos disse no enunciado? Que área da seção reta do ponto C é a metade da área D:

A C = A D 2

Então vamos substituir essa informação na nossa equação de continuidade? Olha só:

A D 2 .   v C =   A D   .   v D  

Substuindo o valor da velocidade no ponto D:

A D 2 .   v C =   A D   .   2 g h 1  

Vamos cortar A D dos dois lados da equação:

v C = 2   .   2 g h 1

Passando esse 2 para dentro da raiz, vamos ter:

v C = 8 g h 1

O que indica que a velocidade do fluido é de 8 g h 1 em C .

Passo 3

Nós vamos considerar que a pressão no ponto E é a mesma pressão no ponto C, mas qual é a pressão no ponto C? Vamos usar a equação de Bernoulli entre os pontos que eu já conheço que são os pontos A e C:

P A + ρ g h A + ρ v A 2 2 =   P C + ρ g h C + ρ v C 2 2

Como o tanque A tem uma área muito maior do que a área no ponto C, podemos considerar que a velocidade do escoamento da água em A é praticamente nula:

v A = 0

Logo, essa simplificação na equação fica igual a:

P A + ρ g h A =   P C + ρ g h C + ρ v C 2 2

Se consideramos que a altura do tanque é h A =   h 1 , logo estamos considerando o ponto C no nosso referencial zero, logo:

h C = 0

E nossa equação se reduz a:

P A + ρ g h 1 =   P C + ρ v C 2 2

Substituindo o valor da velocidade que encontramos do líquido no ponto C:

v C = 8 g h 1

P A + ρ g h 1 =   P C + ρ ( 8 g h 1 ) 2 2

Fazendo essa conta temos:

P A + ρ g h 1 =   P C + ρ 8 g h 1 2

Simplificando ficamos com:

P A - P C = 4 ρ g h 1 - ρ g h 1

P A - P C = 3 ρ g h 1

Passo 4

Ai você me pergunta, mas como eu não tenho mais apenas a pressão no ponto C, também veio a pressão no ponto A. E eu te digo: Tenha calma, vamos chegar lá!

Concorda comigo que pelos dois tanques estarem abertos, tanto A quanto F, as pressões neles são iguais? Logo:

P A =   P F

E nós já tínhamos falado que a pressão no ponto C é a mesma no ponto E:

P E =   P C

Então vamos aplicar a equação de Bernoulli nos pontos E e F? Saca só:

P F + ρ g h F + ρ v F 2 2 =   P E + ρ g h E + ρ v E 2 2

Vamos considerar pelo mesmo motivo do tanque ser muito maior em F do que a área de passagem E que a velocidade de escoamento em F é:

v F = 0

Como a altura no ponto E não está aumentando, não temos uma velocidade naquele ponto, logo:

v E = 0

E ficamos com a equação:

P F + ρ g h F =   P E + ρ g h E

P F -   P E = ρ g ( h E -   h F )  

E a diferença de altura entre os pontos F e E, não é a altura h 2 ? Então:

P F -   P E = ρ g   h 2

Como P A =   P F

P E =   P C

E

P A - P C = P F -   P E  

Substituindo a equação P A - P C = 3 ρ g h 1   :

3 ρ g h 1 =   P F -   P E = ρ g   h 2  

Logo:

h 2 = 3 h 1

Pronto, chegamos na resposta!

Resposta

h 2 = 3 h 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para melhor combater incêndios em sua comunidade à beira-mar, a brigada de incêndio local solicitou que você construísse um sistema de bombeamento para extrair água do mar do oceano até o topo do penh
Um sifão é um dispositivo para transferir um líquido de um recipiente para outro. O tubo mostrado na figura abaixo deve ser preenchido para iniciar o sifão, mas uma vez feito isso, o fluido fluirá atr
Uma fonte projetada para pulverizar uma coluna de água com 12m de ar possui um bico de 1,0 cm de diâmetro ao nível do solo. A água desta bomba está a 3,0 m abaixo do solo. O tubo para o bico tem um di
Na Figura 13-39, H é a profundidade do líquido e h é a distância da superfície do líquido ao tubo inserido no lado do tanque. (a) Encontre a distância x em que a água atinge o chão depois de sair do t
Derive a equação de Bernoulli da maneira com mais generalidade do que é feito no texto, ou seja, permita que o fluido mude de altitude durante seu movimento. Usando o teorema de trabalho-energia, most