Enunciado

Na Figura 13-39, H é a profundidade do líquido e h é a distância da superfície do líquido ao tubo inserido no lado do tanque. (a) Encontre a distância x em que a água atinge o chão depois de sair do tubo em função h e H (b) Mostre que, para um dado valor de H, existem dois valores de h (cujo valor médio é 1 2   H ), ambos os quais dão a mesma distância x (c) Mostre que para um determinado valor de H, x é máximo quando h = 1 2 H . Encontre o valor máximo para x em função de H.

Passo 1

Note que, no item (a) expressando a distância x em função da velocidade podermos utilizar da equação de Bernoulli para solucionarmos o problema. Desse modo,

x = v b Δ t

Agora vamos lembrar da equação de Bernoulli,

P a + ρ w g H + 1 2 ρ w v a 2 =   P b + ρ w g ( H - h ) + 1 2 ρ w v b 2

Passo 2

Agora, fazemos algumas considerações, para facilitar os cálculos. Observe que, v a , velocidade em a, é praticamente 0. Como também a pressão em a quanto a pressão em b são iguais a pressão no nível do mar.

Dessa maneira,

v a = 0

P a = P b = P a t

Logo, aplicando essas considerações que fizemos na equação de Bernoulli temos,

g H = g H - h + 1 2 v b 2

v b = 2 g h

Passo 3

Pronto, v b encontramos, agora falta achar o tempo. Uma equação que relaciona distância com o tempo e aceleração, no caso a gravitacional, é:

Δ y = v 0 y Δ t + 1 2 a Δ t 2

Relacionando com as nossas variáveis, e como a velocidade inicial é 0, temos:

H - h = 1 2 g Δ t 2

Δ t = 2 H - h g

Passo 4

Agora ficou mais fácil, basta substituir as duas equações que achar, a da velocidade e a do tempo, na primeira equação. Logo,

x = v b Δ t = 2 g h * 2 H - h g  

x = 2 h H - h

Passo 5

O item (b) pede para encontrarmos dois valores de H, de tal modo que se fazermos a média deles vai dar 1 2 H . Para isso, utilizamos a resposta do item (a)

Logo,

x = 2 h H - h

h H - h = x 2 4

x 2 = 4 h H - 4 h 2

4 h 2 - 4 h H + x 2 = 0

Por Baskara,

h = 4 H   ± 16 H 2 - 4 * a * x 2 2 * 4 = 1 2 H ± H 2 - x 2

Note que há dois valores de h. Vamos fazer a média agora

h m e d =   1 2 H + H 2 - x 2   1 2 H - H 2 - x 2 2 = 1 2 H

Passo 6

Para este item vamos lembrar um pouco de Cálculo. Quando querermos encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função basta derivamos ela e igualarmos a 0. Nossa função no caso é:

x = 2 h H - h

Como o item pede o valor máximo de x em relação a h, derivamos a nossa função x em função de h e igualarmos a 0.

d x d h = 2 1 2 h H - h H - 2 h = 0

Simplificando,

H - 2 h h H - h = 0

H - 2 h = 0

h = 1 2 H

Passo 7

Estamos quase lá! Para acharmos o valor máximo de x, basta substituir o valor de h na função principal. Logo,

x = 2 h H - h

x m á x = 2 1 2 H ( H - 1 2 H ) = H  

Resposta

  1. x = 2 h H - h (c) x = H
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