Enunciado

Dois pequenos alto-falantes estão separados por uma distância de 5,0 cm, como mostrado na Figura 33-44. Os alto-falantes são acionados em fase com um sinal de onda senoidal de frequência 10 kHz. Um pequeno microfone é colocado a uma distância de 1,00 m dos alto-falantes no eixo que passa pelo meio dos dois e o microfone é, então, movido perpendicularmente ao eixo. Onde o microfone registra o primeiro mínimo e o primeiro máximo do padrão de interferência dos alto-falantes? A velocidade do som no ar é 343 m/s.

Passo 1

Meus amigos e minhas amigas!

O diagrama abaixo esquematiza toda a questão, mostrando os dois auto-falantes, S 1   e   S 2 e a posição inicial e final do microfone. Para resolver, vamos aplicar interferências construtivas e destrutivas e, também, usar a geometria formada pelos auto-falantes e o microfone para encontrar as distâncias onde ocorrem a interferência mínima e a interferência máxima.

Fazendo, unicamente, a análise do diagrama, constatamos que:

tan ⁡ θ = y L

y = L t a n θ

Vamos definir a equação onde ocorrerá a interferência máxima e mínima:

d ∙ s e n θ = m + k λ

Onde:

k = 1 2 ; i n t e r f e r ê n c i a   m í n i m a

k = 0 ; i n t e r f e r ê n c i a   m á x i m a

E

m = 0 ; p r i m e i r o   m í n i m o

m = 1 ; p r i m e i r o   m á x i m o

Seguindo: s e n θ = m + k λ d

Com:

λ = v f

Por fim:

s e n θ = m + k ∙ v d f

θ = a r c s e n m + k ∙ v d f

Então, a equação geral será dada por:

y = L ∙ t a n a r c s e n m + k ∙ v d f  

Passo 2

Vamos encontrar o primeiro mínimo.

Como descrevemos anteriormente:

k = 1 2   e   m = 0

y = L ∙ t a n a r c s e n 1 2 ∙ v d f  

Aplicando os valores fornecidos pela questão:

y = ( 1.00   m ) ∙ t a n a r c s e n 1 2 ∙ ( 343   m / s ) ( 5.0   c m ) ( 10   k H z )  

y = 37   c m

Passo 3

Vamos encontrar o primeiro máximo.

Como descrevemos anteriormente:

k = 0   e   m = 1

y = L ∙ t a n a r c s e n 1 ∙ v d f  

Aplicando os valores fornecidos pela questão:

y = ( 1.00   m ) ∙ t a n a r c s e n 1 ∙ ( 343   m / s ) ( 5.0   c m ) ( 10   k H z )  

y = 94   c m

Resposta

37   c m   e   94   c m ,   r e s p e c t i v a m e n t e .

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