Enunciado

Um circuito consiste em uma bateria de 12 V , uma chave e uma lâmpada de filamento – todos conectados em série. É sabido que uma lâmpada de filamento necessita de uma corrente mínima de 0,10 A para produzir um clarão visível. No circuito, a lâmpada em particular consome 2,0 W quando a chave permanece fechada por um longo tempo. A seguir, um indutor é colocado em série com a lâmpada e com o restante do circuito. Se a lâmpada começa a acender 3,5   m s depois de a chave ser fechada, qual é o valor da auto-indutância do indutor? Despreze qualquer tempo para o aquecimento da filamento e considere que o clarão seja observado assim que a corrente no filamento atinja o valor limite de 0,10 A .

Passo 1

E aí bonit@s, tudo bem com vocês?

Vamos lá, para resolvermos essa questão podemos usar a Equação 28-25 para expressar a corrente no circuito como uma função do tempo e a expressão P = ε 2 / R para a taxa na qual a energia é dissipada na lâmpada para expressar a resistência do circuito. Pois bem, utilizando a equação 28 - 25 para expressar a corrente em um circuito R L

I t = I 0 ⋅ 1 - e - t τ = ε R ⋅ 1 - e - R t L

A resistência da lâmpada é relacionada à taxa em que a energia é dissipada da seguinte forma

P = ε 2 R →   R = ε 2 P

Assim, substituindo na equação acima e fazendo as devidas simplificações vamos encontrar

I t = ε ε 2 P ⋅ 1 - e - ε 2 P t L = P ε ⋅ 1 - e - ε 2 t P L

Passo 2

Pois bem, tomando nossa equação para I t = I m í n e resolvendo para L (isolando ele na fórmula) vamos ter

I m í n = P ε ⋅ 1 - e - ε 2 t P L → I m í n ⋅ ε P = 1 - e - ε 2 t P L

I m í n ⋅ ε P - 1 = - e - ε 2 t P L → 1 - I m í n ⋅ ε P = e - ε 2 t P L

ln ⁡ 1 - I m í n ⋅ ε P = - ε 2 t P L → L = - ε 2 t P ⋅ ln ⁡ 1 - I m í n ⋅ ε P

Agora, para finalizar nosso problema basta substituirmos os valores numéricos de modo que obteremos

L = - 12 V ⋅ 3,5   m s 2,0   W ⋅ ln ⁡ 1 - 0,10 A ⋅ 12 V 2,0 W = 0,28   H

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

L = 0,28   H

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