Enunciado

Dois sistemas massa-mola amortecidos forçados oscilando possuem forças externas idênticas assim como constantes de elasticidade e de amortecimento. Porém, a massa m A do sistema A é quatro vezes a massa m B do sistema B. Assuma que os dois sistemas são levemente amortecidos. Como as suas frequências de ressonância são comparadas? (a) w A = w B , (b) w A = 2 w B , (c) w A = 1 2 w B , (d)   w A = 1 4 w B . (e) Suas frequências de ressonância não podem ser comparadas pelas informações dadas.

Passo 1

A questão nos pede para relacionar as frequências de ressonância de dois sistemas e diz que o amortecimento é leve. A expressão para a frequência de ressonância de um sistema massa-mola forçado nesse caso é

w = k m

Onde k é a constante de elasticidade da mola e m pé a massa do sistema. Não considerarmos a constante de amortecimento pois o amortecimento é leve.

Como queremos relacionar w dos dois sistemas, vamos escrever a expressão de w A para o sistema A e w B para o sistema B :

w A = k A m A

w B = k B m B

Passo 2

Para compararmos w A e w B , podemos fazer a razão entre suas expressões

w A w B = k A m A k B m B = k A m A k B m B

Usamos ali a propriedade de raízes para colocar tudo em uma só raiz.

Passo 3

Lembra que o enunciado diz que as constantes elásticas para os dois casos são iguais, então

k A = k B

Ele deu também uma relação entre as massas do sistema

m A = 4 m B

Vamos substituir isso na nossa expressão da razão entre w A e w B :

w A w B = k A m A k B m B

w A w B = k B 4 m B k B m B

Simplificando

w A w B = 1 4 1 1

w A w B = 1 4 = 1 2

Passando w B para o outro lado:

w A = 1 2 w B

E a letra (c) é a resposta correta.

Resposta

c :   w A = 1 2 w B

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