Enunciado

Dois tanques 1 e 2 , ambos com uma grande abertura no alto, contêm líquidos diferentes. Um pequeno furo é feito no lado de cada tanque à mesma distância h abaixo da superfície do líquido, mas o furo do tanque 1 tem metade da seção reta do furo do tanque 2   . (a)Qual é a razão   ρ 1 / ρ 2 entre as massas específicas dos llíquidos se a vazão mássica é a mesma para os dois furos? (b)Qual é a razão   R v 1 / R v 2 entre as vazões volumétricas dos dois tanques? (c) Em um certo instante, o líquido do tanque 1 está 12,0   c m   acima do furo. A que altura acima do furo o líquido do tanque 2 deve estar nesse instante para que os tanques tenham vazões volumétricas iguais?

Passo 1

Fala galerinha bonita, show de bolinhas com vocês?

(a)Nessa questão temos um exemplo de fluido que não está em uma situação de repouso. Nesse caso, devemos usar como ferramenta a Equação de Bernoulli. Segundo ela, em todo escoamento de fluido incompressível a expressão abaixo representa uma constante

p + 1 2 ρ × v ² + ρ × g × y = c o n s t a n t e

, tal que p , ρ , v e y representam a pressão no ponto considerado, a densidade do fluido, sua velocidade e a altura do ponto com relação a um referencial arbitrário.

Passo 2

Agora, vamos analisar o problema com base na equação de Bernoulli, considerando o referencial de altura como localizado nas superfícies dos líquidos de ambos os recipientes, assim como o indicado na figura.

Vamos aplicar a equação de Bernoulli para analisar o escoamento do fluido contido no recipiente à esquerda. Vamos aplicar a expressão p + 1 2 ρ × v ² + ρ × g × y em dois pontos desse fluido: na superfície do líquido e em um ponto localizado no furo. Assim, temos:

p s + 1 2 ρ s × v s 2 + ρ × g × y s = p f + 1 2 ρ f × v f 2 + ρ × g × y f = constante

Onde o índice s e o índice f se referem a superfície e ao furo respectivamente.

Passo 3

Vamos interpretar os elementos das expressões acima. Olhando primeiro para a superfície. Com a presença do furo, o líquido flui para baixo na superfície com uma velocidade v s u p e r f í c i e . Vamos relacionar essa velocidade com a velocidade do escoamento no furo por meio da equação da continuidade:

A s × v s = A f × v f

Agora é hora de atentar para duas informações dadas no enunciado: os recipientes possuem uma grande abertura no alto e os furos têm áreas pequenas. Podemos considerar que essa informação indica que:

A f ≪ A s

Isolando na equação da continuidade o valor de v s , temos:

v s = A f A s × v f  

Como a área do furo é muito menor que a da superfície, a razão A f A s é muito pequena. Consequentemente, podemos considerar que, com relação à velocidade do fluido no furo, v s u p e r f í c i e é bem pequena, podendo ser desprezada na equação de Bernoulli. Lembre-se, então que, sempre que a área do furo for muito pequena com relação à da superfície, v s u p e r f í c i e deve ser desprezada.

Passo 4

Aplicando então a equação de Bernoulli, uma vez que p s = p a t m , v s ≅ 0 e y s = 0 , temos:

p a t m = p f + 1 2 ρ f × v f 2 - ρ × g × h

Como o furo é aberto para a atmosfera, p f = p a t m . Então, a expressão anterior fica assim: 1 2 ρ f × v f 2 = ρ × g × h , ou seja:

v f   = 2 g h

Passo 5

Considerando a expressão anterior e usando o fato de que as vazões dos furos 1 e 2 são as mesmas, temos:

ρ 1 × 2 g h × A 1 =   ρ 2 × 2 g h × A 2

Como o furo em 2 possui o dobro da área em 1 segundo o enunciado , temos que

ρ 1 ρ 2 = A 2 A 1 = 2

Passo 6

(b) Lembrando que a vazão é representada pelo produto entre a área e a velocidade do fluido, temos:

v a z ã o   1 v a z ã o   2 = v 1 A 1 v 2 A 2 = A 1 A 2 = 1 2

, pois v 1 = v 2 = 2 g h , como encontramos no passo 4.

Passo 7

(c) Nesse caso, ocorre que as alturas dos furos com relação às superfícies dos líquidos são diferentes. Vamos considerá-las como iguais a h 1 e h 2 . Se as vazões volumétricas são iguais, ocorre que

v 1 A 1 = v 2 A 2

Logo, v 1 v 2 = A 2 A 1 = 2 .

Passo 8

Da equação de Bernoulli analisada inicialmente, decorre que:

v 1 = 2 g h 1

v 2 = 2 g h 2

Logo, temos que v 1 v 2 = A 2 A 1 = 2 = 2 g h 1 2 g h 2 = h 1 h 2

Então, temos como resultado:

h 2 = h 1 4 = 12,0   c m 4

h 2 = 3 , 00   cm

Resposta

  1. 2
  2. 1 2
  3. 3 , 00   cm
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