Enunciado

Na figura, a água atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma velocidade v 1 = 15   m / s . Os diâmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano são 5,0   c m e 3,0   c m . (a) Que volume de água escoa para a atmosfera em um período de 10   m i n ? Quais são (b) a velocidade v 2 e (c) a pressão manométrica no segmento esquerdo do tubo?

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui, a letra (a) quer saber qual volume de água sai do tubo em 10   min . Vamos prestar atenção nas unidades de medida pra ver se dá pra resolver isso de forma fácil.

Primeiro precisamos lembrar da equação da continuidade, dada como:

A 1 v 1 = A 2 v 2

O que é esse produto de área com velocidade? Vamos dar olhadinha nas unidades de medida: a área é medida em metros quadrados ( ) e a velocidade em metros por segundo ( m/s ), quando multiplicamos os dois:

m 2 .m/s   = m³/s

Achamos metros cúbicos por segundo! Ou seja, é o volume de água que se desloca a cada segundo.

Passo 2

Beleza, agora já sabemos como medir a quantidade de volume por segundo, é só multiplicar a área do cano pela velocidade da água nesse lugar.

A área A 1   da boca do cano é:

A 1 = π r 1 2

A 1 = π d 1 2 2

Logo:

A 1 = 3,14 . 0,03 2 4

A 1 = 7,1 × 10 - 4

Multiplicando pela velocidade temos:

A 1 v 1 = 7,1 × 10 - 4 15

A 1 v 1 = 0,01065   m³/s

Ou seja, a cada segundo, saem 0,01065   m 3 pelo cano.

Como 10   minutos são 10 60 = 600   segundos , a quantidade final de água que vai ter saído depois desses 10   minutos vai ser:

V a z ã o = 0,01065   600

V a z ã o = 6,39   m 3

V a z ã o = 6,4   m 3

Passo 3

A letra (b) quer que a gente encontre a velocidade v 2 da água na parte mais grossa do cano. Aqui a gente pode usar a equação da continuidade, já até calculamos um dos seus termos:

A 1 v 1 = A 2 v 2

0,01065 = π d 2 2 2 v 2

Isolando v 2

0,01065 4 3,14 0,05 2 = v 2

v 2 = 5,4   m/s

Pronto.

Passo 4

E a letra (c) quer a pressão manométrica do lado esquerdo do tubo.

Lembrando que a pressão manométrica é dada como:

P m a n = P a b s - P a t m

Sendo assim, vamos encontrar a pressão absoluta e depois subtrair da pressão atmosférica.

E para encontrar a pressão?

Não tem erro: questão de fluidos comparando pressão, velocidade e/ou altura de dois pontos? Equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

Vamos reorganizar isso:

p 1 - p 2 + ρ g y 1 - y 2 = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

Mas olhando pro cano, dá pra ver que ele é reto, ou seja, não tem nenhuma variação de altura, logo y 1 - y 2 = 0 . Aí fica:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

Além disso, como o lado direito tem saído pro ar, a pressão ali é igual à pressão atmosférica, então p 1 = p a t m = 1,01 × 10 5   Pa . (É muito comum ter que usar isso em questões de fluidos, então guarde bem).

Como a densidade da água é ρ = 10 3   k g / m 3 .

1,01 × 10 5 - p 2 = 1 2 ( 10 3 ) 5,4 2 - 15 2

- p 2 = - 97920 - 1,01 × 10 5

p 2 = 198920   Pa

p 2 = 1,99 × 10 5   Pa

Agora pra acabar precisamos encontrar a pressão manométrica. De modo que:

p m a n = p a b s - p a t m

p m a n = 1,99 × 10 5 - 1,01 × 10 5

p m a n = 0,98 × 10 5 Pa

Resposta

(a) V = 6,4   m 3

(b) v 2 = 5,4   m/s

(c) p 2 = 0,98 × 10 5   Pa

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