Enunciado

Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108   N quando a distância entre os centros é 50,0   c m . As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360   N . Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

Como as esferas se atraem, obrigatoriamente, as suas cargas elétricas possuem sinais opostos. Então, a força elétrica entre elas é igual a (sendo d a distância entre elas e q 1 e q 2 as suas cargas iniciais):

F 1 = K q 1 q 2 d 2 = - 0,108 N

Quando elas entram em contato entre si, as soma das suas cargas é dividida igualmente entre elas. Então, depois do contato, cada uma fica com uma carga igual a q 1 + q 2 2 , e a força de repulsão (positiva) entre elas é igual a:

F 2 = K q 1 + q 2 2 2 d 2 = 0,0360 N

Passo 2

Agora, vamos usar uma sacada que vai facilitar nossa resolução. Repare que, da primeira equação do Passo 1, a gente tem que

q 1 q 2 = - 0,108 × 0,5 2 8,99 × 10 9 C 2 = - 3 × 10 - 12 C 2

Da segunda equação, a gente extrai que:

q 1 + q 2 =   2 × d 0,036 K = 2,00 × 10 - 6 C

Passo 3

Agora, podemos encontrar cada uma das cargas acima considerando que elas são raízes de uma equação da seguinte equação do segundo grau:

x 2 - 2,00 × 10 - 6 x - 3 × 10 - 12 = 0

Considerando que a equação do segundo grau acima é do tipo:

y = a x 2 + b x + c

Podemos achar o discriminante da função através da relação:

∆ = b 2 - 4 a c

Logo,

Δ = - 2 * 10 - 6 2 - 4 1 - 3 * 10 - 12 = 4 × 10 - 12 + 12 × 10 - 12 = 16 × 10 - 12

As raízes , por suas vez , podem ser obtidas pela relação:

x = - b ± ∆ 2 a

Logo,

q 1 = 2 × 10 - 6 + Δ 2 C = 2 × 10 - 6 + 4 × 10 - 6 2 C = 3 × 10 - 6 C

q 2 = 2 × 10 - 6 - Δ 2 C = 2 × 10 - 6 - 4 × 10 - 6 2 C = - 10 - 6 C

Assim, encontramos as respostas:

(a) q 2 = - 10 - 6   C

(b)   q 1 = 3 × 10 - 6   C

Resposta

(a) q 2 = - 10 - 6   C

(b)   q 1 = 3 × 10 - 6   C

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