Enunciado

Duas esferas sólidas uniformes, cada uma com massa M = 0,800 kg e raio R = 0,0800 m, são conectadas por uma barra leve e curta ao longo de um diâmetro de cada esfera e estão em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma mola com constante de força k =   160   N / m tem uma ponta presa à parede e a outra, presa a um anel sem atrito que passa pela barra no centro de massa das esferas, na metade do percurso entre os centros das duas esferas. Cada uma delas é puxada à mesma distância da parede, esticando a mola, e depois são liberadas. Existe atrito suficiente entre a mesa e as esferas para que elas rolem sem deslizar enquanto oscilam na ponta da mola. Mostre que o movimento do centro de massa das esferas é harmônico simples e calcule o período do movimento.

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Bem pessoal, primeiramente temos que as duas esferas estão em um movimento harmônico simples. Para os movimentos lineares e rotacionais, a força é:

∑ F = - M a l i n e a r = f s - k x

E para o movimento rotacional, encontramos o torque para o sistema por:

∑ τ = I α

Onde I é o momento de inércia e para a esfera sólida é dado por:

I = 2 5 M R 2

E α é a aceleração angular e está relacionada com a aceleração linear a l i n e a r ​por:

α = a l i n e a r R

O próprio torque está relacionado ao raio da ação por ∑ τ = R f s onde f s ​é a força de atrito:

Agora, use as expressões de α , τ e I na equação:

∑ τ = I α

Assim, temos:

R f s = 2 5 M R 2 a l i n e a r R  

f s = 2 5   M a l i n e a r

Agora, nós conectamos esta expressão de f s ​na equação:

∑ F = - M a l i n e a r = f s - k x

Mas use-a para as duas esferas, o que significa a força de atrito f s ​e a força resultante é dobrada:

- 2 M a l i n e a r = 2 f s - k x

- 2 M a l i n e a r = 2 2 5   M a l i n e a r - k x

a l i n e a r x = 5 14 k M

Passo 2

O deslocamento x ( t ) de uma partícula de sua posição de equilíbrio é descrito pela equação (13.13) do nosso livro na forma:

x t = x cos ⁡ ( ω t + Φ )

Onde x é a amplitude do deslocamento, ( ω t + Φ ) é a fase do movimento e ϕ é a constante de fase. Pegaremos a segunda derivada da equação:

x t = x cos ⁡ ( ω t + Φ )

para obter a aceleração por:

a = - ω 2 x cos ⁡ ( ω t + Φ )

Onde o termo positivo ω 2 x representa a aceleração máxima a l i n e a r ​quando o termo c o s ( ω t + ϕ ) = 1 .

a l i n e a r = x ω 2 = x 2 π T 2

Assim, podemos expressar o seguinte:

a l i n e a r x = x 2 π T 2

Agora, substituímos o termo a l i n e a r x na equação:

a l i n e a r x = 5 14 k M

e encontre uma expressão para T :

x 2 π T 2 = 5 14 k M

T = 2 π 14 M 5 k

Substituindo os valores temos:

T = 2 π 14 ( 0,8   k g ) 5 ( 160   N / m )

T = 0 , 74   s

E assim acabamos nossa questão, deu tudo certinho aí? 😉 Te vejo na próxima!

Resposta

T = 0 , 74   s

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