Enunciado

Duas esferinhas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e suspensas por fios isolantes de comprimento l. O ângulo de abertura resultante é 2 θ .

  1. Mostre que q 2 c o s θ = 16   π   ϵ 0 l 2   m g   s e n 3 θ
  2. Se m = 1 g , l = 20   c m e θ = 30 ° , qual p valor de q ?

Passo 1

  1. Para demostrar o que o exercício no pede, primeiro vamos desenhar o diagrama de forças que atuam sobre uma das esferinhas:
  2. As forças são: a força eletrostática gerada pela outra esfera de mesma carga; a força de tração do fio, que pode ser de composta em na direção vertical ( y ) e horizontal vertical ( x ) e a força peso.

    Passo 2

    Vamos agora escrever a segunda lei de Newton para as forças que estão atuando na direção y e na direção x , como as esferas estão em equilíbrio, temos:

    y ^ :       T y - P = 0

    x ^ :     T x - F e = 0

    Podemos escrever a tração do fio em termo de propriedades trigonométricas:

    T y = T . cos ⁡ θ

    T x = T . sin ⁡ θ

    Substituindo isso nas equações anteriores, na direção y teremos:

      T . cos ⁡ θ - P = 0

    T = P cos ⁡ θ =   m . g cos ⁡ θ

    Agora na direção x

    T x - F e = 0

    T . sin ⁡ θ - F e = 0

    T . sin ⁡ θ = F e

    Como T =   m . g cos ⁡ θ e F e = 1 4 π ϵ 0   q 2 d 2           , temos:

    m . g cos ⁡ θ . sin ⁡ θ =   1 4 π ϵ 0   q 2 d 2    

      q 2 cos ⁡ θ = 4 π ϵ 0 d 2 m . g . sin ⁡ θ

    Passo 3

    Estamos quase lá! Vamos escrever a distância em função do ângulo! Repare que

    sin ⁡ θ = d 2 l

      l  sin ⁡ θ = d 2

    d = 2 l sin ⁡ θ

    Substituindo isso na nossa expressão, temos nossa expressão:

    q 2 cos ⁡ θ = 4 π ϵ 0 2 l sin ⁡ θ 2 m . g . sin ⁡ θ

    q 2 cos ⁡ θ = 16 π ϵ 0 l 2 m . g . sin 3 ⁡ θ

    Passo 4

  3. Ele quer saber o valor da carga para os valores de m = 1 g , l = 20   c m e θ = 30 °.

Primeiro vamos converter os valores para as unidades do S.I:

m = 1 g = 10 - 3   k g

l = 20   c m = 20 × 10 - 2 = 0,2   m

Substituindo na expressão da letra a) e sendo ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   F m - 1

q 2 cos ⁡ 30 = 16 π   8,85 × 10 - 12 ( 0,2 ) 2 10 - 3 . 9,8 . sin 3 ⁡ 30  

q 2 = 2,567 × 10 - 14

q ≅ 1,6 × 10 - 7 C

Resposta

  1. Demonstração
  2. q ≅ 1,6 × 10 - 7 C
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