Enunciado

Duas massas idênticas são liberadas do repouso em um recipiente hemisférico liso e raio R , a partir da posição indicada na Figura 8.45 . Despreze o atrito entre as massas e a superfície do recipiente. Se elas colarem ao colidirem, que altura acima da parte inferior do recipiente as massas atingirão após a colisão?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a altura acima da parte inferior do recipiente que as massas antigirão após a colisão dos blocos.

Nós sabemos que as massas são idênticas, então cada objeto tem massa m . E que essas massas colidem em um recipiente esférico de raio R , ficando coladinhas após a colisão. Então, após a colisão a massa total passa a ser a soma das duas e a velocidade é a mesma.

Vamos aplicar a conservação de energia ao movimento para encontrar a velocidade antes e depois da colisão e aplicar a conservação de energia-impulso para a colisão.

Seja   v a velocidade da massa liberada no aro imediatamente antes de atingir a segunda massa.

Vamos lá!

Passo 2

A conservação de energia nos diz que:

1 2 m v 2 = m g R

Onde temos a energia cinética do lado esquerdo da equação e a energia potencial do lado direito. Sendo g = 9,8   m / s 2 e R o raio da trajetória.

Simplificando as massas:

1 2 v 2 = g R

Isolando v nessa equação, vamos ter:

v 2 = 2 g R

v = 2 g R

Esta é a velocidade v 1 para a colisão.

Passo 3

Seja v 2   a velocidade do objeto combinado logo após a colisão.

A conservação do momento aplicado à colisão dá:

m v 1 = 2 m v 2

Então, simplificando as massas e isolando v 2 na equação, temos:

v 2 = v 1 2

Mas v 1 = 2 g R . Assim, substituindo, vamos ter:

v 2 = g R 2

Passo 4

Aplicando, agora, a conservação de energia ao movimento do objeto combinado após a colisão.

Seja y 3 a altura final acima do fundo do recipiente. Assim, considerando energia cinética antes e potencial depois, temos:

1 2 2 m v 2 2 = 2 m g y 3

Isolando a altura y 3 na equação, teremos:

y 3 = v 2 2 2 g

Substituindo v 2 = g R 2 :

y 3 = 1 2 g g R 2

Logo,

y 3 = R 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y 3 = R 4

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