Enunciado

No efeito estilingue, a transferência de energia em uma colisão elástica é usada para dar energia a uma sonda espacial, para que ela possa escapar do sistema solar. Todos os valores de rapidez são em relação a um referencial inercial no qual o centro do Sol permanece em repouso. A figura mostra uma sonda espacial se movendo a 10,4 k m / s de encontro a Saturno, que se move a 9,6 k m / s de encontro à sonda. Devido à atração gravitacional entre Saturno e a sonda, esta contorna Saturno e passa a se orientar no sentido oposto, com rapidez v . (a) Supondo esta colisão como unidimensional e elástica, e a massa de Saturno sendo muito maior do que a da sonda, determine v . (b) De que fator a energia cinética da sonda aumenta? De onde vem esta energia?

Passo 1

a) Cara, tudo bem? Torcendo para que sim! Então, a gente tem a sonda espacial que chega bem pertinho de Saturno, ganha energia, e segue um novo rumo.

Ele quer saber a rapidez v da sonda depois desse encontro.

Como a gente não tem valores das massas, a gente vai usar o método do centro de massa desse movimento para achar a velocidade da sonda depois do encontro. Como ele funciona?

Primeiro, a gente precisa da velocidade do centro de massa do sistema sonda+Saturno. Como a massa do planeta é muito maior que a massa da sonda, a velocidade do centro de massa é praticamente igual à velocidade do planeta. Então a gente tem:

v c m = - 9,6   k m / s

Negativo porque nosso referencial positivo está para a direita e a velocidade de Saturno está para a esquerda, tá?

Passo 2

Depois que a gente acha v c m , a gente precisa achar nossas velocidades relativas ao centro de massa do sistema sonda+Saturno (já que essas velocidades que a gente tem são em relação ao Sol).

E como faz isso? Cara, a gente pega a velocidade do objeto e subtrai a velocidade do centro de massa. Para o planeta vai fica:

v r e l s a t u r n o = v s a t u r n o - v c m

v r e l s a t u r n o = - 9,6 - - 9,6 = 0

E para a sonda:

v r e l s o n d a = v s o n d a - v c m

v r e l s o n d a = 10,4 - - 9,6 = 20   k m / s

Essas são as velocidades relativas antes do encontro.

Passo 3

Para achar as velocidades relativas depois do encontro, a gente precisa primeiro inverter o sinal das velocidades que a gente achou:

v r e l s a t u r n o = 0

v r e l s a t u r n o . 2 = 0

E para a sonda:

v r e l s o n d a = 20   k m / s

v r e l s o n d a . 2 = - 20   k m / s

E para achar a velocidade da sonda depois do encontro, mas em relação ao sol novamente, a gente pega a velocidade relativa depois do encontro e soma com a velocidade do centro de massa. Assim:

v s o n d a 2 = v r e l s o n d a . 2 + v c m

v s o n d a 2 = - 20 - 9.6

v s o n d a 2 = - 2 9,6 k m s

Então a rapidez (módulo da velocidade) da sonda depois desse encontro vai ser igual a v = 29.6   k m / s .

Passo 4

b) Para achar o fator de aumento da energia cinética a gente divide a energia cinética final (onde ela tem rapidez v = 29.6   k m / s ) da sonda pela energia cinética inicial (onde ela tem rapidez v 0 = 10,4   k m / s :

K f K i = M v 2 2 M v 0 2 2

K f K i = v 2 v 0 2 = 29.6 10.4 2

K f K i = 8.1

Essa energia vem de uma perda de energia cinética de Saturno (extremamente pequena para ele), que torna-se energia cinética para a sonda.

Resposta

  1. v = 29.6 k m
  2. 8.1
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