Enunciado

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8.9P Duas partículas, de massas m 1 e m 2 , colidem frontalmente e de forma elástica com velocidade relativa v . Calcule as velocidades das duas partículas: A) no sistema de referência em que a partícula 2 está inicialmente parada: B) no sistema ligado ao centro de massa.

Passo 1

Belezera galerinha, se as partículas colidem frontalmente de forma elástica, podemos usar as equações da Seção 8.5, desde que escolhamos um referencial onde a corpo 2 esteja parado no momento inicial. Maaaass, é exatamente isso que o enunciado nos pede, ele quer que a gente encontre as velocidades das partículas no sistema de referencial em que a partícula 2 está inicialmente parada. Dessa forma pela conservação do momento linear, temos:

P i = P f

m 1 v = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Onde v 1 f e v 2 f são as velocidades finais da massa 1 e 2 respectivamente, enquanto v é velocidade relativa entre os corpos, mas como no nosso referencial a partícula 2 deve ter velocidade nula, toda a velocidade v entre as partículas deve estar associada a partícula 1 .

Passo 2

Dessa maneira, podemos isolar a velocidade final da partícula 2 como:

v 2 f = m 1 m 2   v - v 1 f

Maaass, a malandragem agora é que para colisões elásticas onde nosso referencial faz com que a particula 2 esteja parada, nos fornece uma relação dada como:

v 2 f - v 1 f = v m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1

Então podemos substituir a velocidade v 2 f na nossa equação, saca só:

m 1 m 2   v - v 1 f - v 1 f = v m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1

Dando uma arrumadinha, temos:

m 1 m 2 v - m 1 m 2 v 1 f - v 1 f = v m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1

- v 1 f 1 + m 1 m 2 = v m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1 - m 1 m 2 v

E agora o truqe de mágica é a gente multiplicar tudo por - 1 , tal que:

v 1 f 1 + m 1 m 2 = v m 1 m 2 - m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1

Portanto a velocidade final da particula 1 será:

v 1 f = v m 1 m 2 - m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1 1 + m 1 m 2

Passo 3

Belezoca galerilds, agora na letra (B) queremos a velocidade num referencial do centro de massa, só que já encontramos as velocidades finais num referencial para a particula 2 . E como a gente é malandro não vamos precisar refazer todos os cáculos, basta a gente lembrar que as velocidades finais das particulas no centro de massa é relacionada por:

C M d v = v 1 f - v' 1 f ,     C M d v = v 2 f - v' 2 f

Onde C M é o centro de massa no referencial onde encontramos v 1 f e v 2 f , isto é, no referencial da particula 2 , enquanto v' 1 f e v' 2 f são as velocidades finais no referencial do centro de massa que separa as particulas por uma distância d . Dessa forma, podemos o encontrar o centro de massa C M tal que:

C M = d m 1 + 0 m 2 m 1 + m 2

C M = d m 1 m 1 + m 2

Portanto as velocidades relativas serão:

m 1 m 1 + m 2 v = v 1 f - v' 1 f

v' 1 f = v 1 f - m 1 m 1 + m 2 v

E:

v' 2 f = v 2 f - m 1 m 1 + m 2 v

Resposta

  1. v 1 f = v m 1 m 2 - m 1 m 2 2 - m 1 m 2 + 1 1 + m 1 m 2 ,   v 2 f = m 1 m 2   v - v 1 f
  2. v' 1 f = v 1 f - m 1 m 1 + m 2 v ,       v' 2 f = v 2 f - m 1 m 1 + m 2 v

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