Enunciado

Um elétron de massa m e carga - e se move em uma órbita circular de raio r em torno de um núcleo quando um campo magnético uniforme B → é aplicado perpendicularmente ao plano da órbita. Supondo que o raio da órbita não varia e que a variação da velocidade do elétron devido ao campo B → é pequena, escreva uma expressão para a variação do momento dipolar magnético orbital do elétron devido à presença do campo.

Passo 1

Esse é um problema mais complicadinho (mas bem divertido). Imagine um elétron em uma órbita circular com um raio r e uma velocidade v . Qual seria o seu momento magnético orbital neste momento?

Ora, basta você lembrar da analogia do modelo de espira para órbitas de elétrons:

μ = I A = I π r 2

Sabemos que

I = e T = e 2 π r v = e v 2 π r

Assim,

μ = e v 2 π r ⋅ π r 2 = e v r 2

No problema foi dito para supormos que o raio é mantido fixo, de modo que a única forma de haver uma variação de μ é se houver uma mudança de velocidade:

d μ = e r 2   d v

Como que o campo magnético consegue fazer isso? Essa é a pergunta que temos que responder nesse problema!

Passo 2

Inicialmente não havia campo magnético e do nada ele aparece: claramente houve uma variação brusca do campo. Desta forma, o fluxo magnético sobre a espira também variou, induzido um campo elétrico! Esse campo induzido vai acelerar o elétron, mudando sua velocidade: assim explicamos o motivo de haver uma variação de μ !

Bom, agora que entendemos qualitativamente o problema, vamos fazer contas. O primeiro passo é calcular o campo elétrico induzido. Para isso, vamos usar a lei de Faraday:

∮ E → ⋅ d s → = - d Φ B d t

Temos que

Φ B = B ⋅ A = π r 2   B ⇒ d Φ B d t = π r 2 d B d t

Como o fluxo é perpendicular ao plano da órbita, o campo induzido estará no plano orbital. Tomando a órbita como circuito para fazer a integral de linha de E → , vamos ter que

E ⋅ 2 π r = - π r 2 d B d t ⇒ E = - r 2 d B d t

Esse campo será tangencial à órbita.

Passo 3

A força que o elétron sentirá devido a esse campo induzido será

F = - e   E = e r 2 d B d t

Pela segunda lei de Newton:

F = m d v d t ⇒ d v d t = e r 2 m d B d t

Assim,

d v = e r 2 m   d B

Passo 4

Agora vem o pulo do gato para acabar o problema: inicialmente o campo era nulo e muito rapidamente ele passa a ser B , assim sua variação vai ser

d B ≈ Δ B = B - 0 = B

Portanto,

d v ≈ e r B 2 m

Assim, a variação Δ μ será dada por

d μ ≈ Δ μ = e r 2   d v = e r 2 ⋅ e r B 2 m = e 2 r 2 B 4 m

Resposta

e 2 r 2 B 4 m

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