Enunciado

Um elétron e um pósitron estão se movendo em direção um ao outro e cada um tem velocidade de 0,5 c no sistema de laboratório.

  1. Qual é a energia cinética de cada partícula?
  2. e + e e - chocam-se frontalmente e se aniquilam. Qual é a energia de cada fóton produzido?
  3. Qual é o comprimento de onda de cada fóton? Como esse comprimento de onda se compara ao comprimento de onda do fóton quando a energia cinética inicial de e + e e - é desprezível? (ver exemplo 44.1 )

Passo 1

Letra a)

A energia cinética no sistema do laboratório é:

K = m c 2 1 1 - v 2 c 2 - 1

A velocidade de ambos é igual e vale 0,5 c , assim como as massas. Então é só substituir:

K = m c 2 1 1 - 0,5 c 2 c 2 - 1 = m c 2 1 1 - 0,25 - 1 = m c 2 1 0,75 - 1

K = 0 , 1547 m c 2

A massa do elétron (e do pósitron também) é 9,11 × 10 - 31 k g , e a velocidade da luz é 3 × 10 8 m / s , agora é só substituir para obter o valor da energia em joules:

K = 0,1547 . 9,11 × 10 - 31 ( 3 × 10 8 ) 2 = 1,27 × 10 - 14 J

Passo 2

Letra b)

A energia de cada fóton vai ser a soma da energia cinética (calculada no passo anterior) mais m c 2 , assim:

E = K + m c 2 = 0,1547 m c 2 + m c 2 = 1,1547 m c 2

E usando os mesmos valores de massa e velocidade da luz do passo anterior, temos o valor da energia total de cada fóton emitido:

E = 1,1547 9,11 × 10 - 31 ( 3 × 10 8 ) 2 = 9,46 × 10 - 13 J

Passo 3

Letra c)

O momento inicial é zero, pois ambas as partículas estão com a mesma velocidade, possuem mesma massa e estão viajando em sentidos opostos. Logo, por conservação de momento linear, o momento depois da aniquilação também deve ser zero. Com isso, temos que cada fóton deve ter o mesmo comprimento de onda e devem estar viajando em sentidos opostos.

Sabemos do capítulo anterior que a energia de um fóton é h f , e como ele está viajando na velocidade da luz, temos que c = λ f , e podemos colocar a energia do fóton em termos do comprimento de onda:

E = h c λ

λ = h c E

A energia nós vamos resgatar ali do passo 2 , a velocidade da luz do passo 1 e a constante de Planck em J . s vale 6,62 × 10 - 34 , substituindo temos:

λ = 6,62 × 10 - 34 . 3 × 10 8 9,46 × 10 - 13 = 2,10 × 10 - 12 m = 2,1 p m

E comparando esse resultado com o do exemplo do livro, vemos um valor menor. No exemplo 44.1 o valor encontrado foi de 2,43 p m . Quando a energia E é dada apenas pela energia m c 2 , como essa energia é inversamente proporcional ao comprimento de onda, o valor de λ é maior. Logo, no nosso exemplo temos que levar em conta a energia cinética, portando com a energia maior, o comprimento de onda é menor. =)

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) 1,27 × 10 - 14 J

b ) 2,1 p m

Q u a n d o   a s   p a r t í c u l a s   t a m b é m   p o s s u e m   e n e r g i a   c i n é t i c a ,   a   e n e r g i a   d e   c a d a   f ó t o n   é   m a i o r   e ,  

p o r t a n t o ,   s e u   c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   é   m e n o r .

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