Enunciado

Um encantador de serpentes, tocando sua flauta, faz uma serpente de comprimento l e massa m , inicialmente enrodilhada no chão, elevar gradualmente a cabeça até uma altura h < l do chão. Supondo a massa da serpente uniformemente distribuída pelo seu corpo, quanto trabalho foi realizado pela serpente?

Passo 1

Por a massa estar uniformemente distribuída podemos considerar que um pedacinho de massa num comprimento bem pequeno da serpente tem a mesma proporção que a quantidade total de massa da serpente em todo seu comprimento.

d m d l = m l

d m = m l d l

Quando a serpente se desloca pra cima bem pouquinho o trabalho feito é

d W = d m g l '

(   a q u i   l ' é   a l t u r a   e m   q u e   a   s e r p e n t e   a t i n g i u )

W = ∫ g l '     d m

W = ∫ g l ' m l   d l '  

(   é   i m p o r t a n t e   n o t a r   q u e   l ' é   v a r i á v e l   j á   q u e   d e p e n d e   d a   a l t u r a   q u e   e l a   a t i n g i u

e n q u a n t o   q u e   l   é   c o n s t a n t e   e   i g u a l   a o   c o m p r i m e n t o   t o t a l   d a   s e r p e n t e )

A altura final atingida pela serpente foi h . Por isso fica assim nosso trabalho

W = m g l ∫ 0 h l ' d l '

= m g l l ' 2 2 0 h

= m g h 2 2 l

Resposta

W = m g h 2 2 l

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