Enunciado

Plutão e Charon. O diâmetro de Plutão é de aproximadamente 2370   k m , e o diâmetro do seu satélite Charon é 1250   k m . Embora haja variação, em geral eles estão a 19700   k m de distância, de um centro a outro. Supondo que Plutão e Charon possuem a mesma composição e, portanto, a mesma densidade média, ache a localização do centro de massa desse sistema em relação ao centro de Plutão.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a localização do centro de massa do sistema em relação ao centro de Plutão.

Mas antes devemos fazer algumas considerações. A primeira é que devemos considerar que Plutão e seu satélite se encontram em cima do eixo horizontal (eixo x ) e a segunda é que devemos considerar que Plutão está na origem do plano, no ponto ( 0 ,   0 ) , beleza?

Sabendo disso, o que precisamos utilizar agora é a equação que determina o centro de massa em x do sistema, que é essa equação aqui:

x c m = m A . x A + m B . x B + m C . x C + … + m n . x n m A + m B + m C + … + m n

Onde nós temos os produtos das massas m pelas posições x e no qual os índices que possuem A são referentes a Plutão e os índices que possuem B são referentes ao Satélite Charon.

Só que a questão não nos dá dados sobre as massas de ambos, apenas informações sobre distância e densidade. Sendo assim, para Plutão e para o Satélite, temos que a massa pode ser encontrada da seguinte forma:

m = ρ V

Onde ρ é a densidade de cada um e V é o seu volume, que vamos considerar esférico e, portanto, V = 4 3 π r 3 (onde r é o raio). Então, vamos calcular a massa de cada um e substituir na equação de x c m para encontrar o centro de massa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a massa do satélite e de Plutão. Considerando que ambos são esféricos, teremos:

m = ρ ∙ 4 3 ∙ π ∙ r 3

Mas o raio é sempre a metade do diâmetro. Sendo assim, chamando esse diâmetro de d , teremos:

m = ρ ∙ 4 3 ∙ π ∙ d 2 3

m = ρ ∙ 4 3 ∙ π ∙ 1 8 ∙ d 3

Logo, a nossa massa é dada por:

m = 1 6 ∙ ρ ∙ π ∙ d ³

Passo 3

Agora que já temos todos os dados, basta utilizarmos a equação de x c m vista no passo 1 :

x c m = m A . x A + m B . x B m A + m B

Substituindo a massa calculada no passo anterior:

x c m = 1 6 ∙ ρ ∙ π ∙ d A ³ ∙ 0 + 1 6 ∙ ρ ∙ π ∙ d B 3 ∙ x B 1 6 ∙ ρ ∙ π ∙ d A 3 + 1 6 ∙ ρ ∙ π ∙ d B 3

Simplificando os termos semelhantes, teremos:

x c m = d B 3 . x B d A 3 + d B 3

E substituindo os valores, temos:

⇒ x c m = 1250 3 ∙ 19700 2370 3 + 1250 3

∴ x c m ≅ 2,52 ∙ 10 3   k m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x c m ≅ 2,52 ∙ 10 3   k m

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