Enunciado

Por que a energia potencial gravitacional de duas massas é negativa? Observe que a resposta “porque este é o resultado da equação” não constitui uma explicação.

Passo 1

Este exercício pede que a gente reflita sobre o fato de o potencial gravitacional entre duas massas ser negativa. Vou aqui adiantando a resposta: o potencial gravitacional entre duas massas é negativo, pois a força gravitacional é sempre uma força atrativa! Mas fique tranquilo, que vamos explorar detalhadamente o que isso quer dizer.

Porém, antes de prosseguirmos, vamos lembrar da conservação da energia mecânica. Quando atuam apenas forças conservativas em um corpo, a energia mecânica total será sempre conservada, ou seja,

U i + K i = U f + K f

onde U representa a energia potencial, K a energia cinética e os índices i e f representam, respectivamente, o estado inicial e final do sistema.

Passo 2

Vamos imaginar a seguinte situação: temos um corpo de massa M atraindo gravitacionalmente um corpo de massa m . Para facilitar a discussão, vamos supor que M ≫ m de modo que M está praticamente fixo! Além disso, suponha que m se encontra inicialmente em repouso.

Veja que M atrai o corpo m de modo que este comece a acelerar para a esquerda. Portanto, o módulo da velocidade corpo de massa m vai aumentando conforme ele se aproxima de M .

Passo 3

Vamos agora aplicar o princípio da conservação da energia mecânica!

U i + K i = U f + K f

No início, m estava parado de modo que K i = 0 ; no final ele tinha uma velocidade v ≠ 0 . Portanto, temos que

U i = U f + 1 2 m v 2 Como 1 2 m v 2 é sempre um número positivo, isso significa que U i > U f . Ou seja, a energia potencial vai diminuindo conforme m vai se aproximando de M .

Passo 4

Porém, isso ainda não responde nossa pergunta! Falta uma coisinha... a gente define a energia potencial gravitacional no infinito como sendo igual a zero! Isso é uma definição. Poderia ser qualquer outro número, porém fazer continha com zero é sempre mais fácil, né?! :)

Passo 5

Agora vamos juntar o que descobrimos no Passo 3 com o Passo 4. Ora, se a energia potencial sempre decresce conforme m vai se aproximando de M , e como ela é zero lá no infinito, isso quer dizer que a energia potencial vai caindo para valores abaixo de zero... ou seja, a energia potencial é negativa. Veja o gráfico a seguir (energia potencial versus distância) que ilustra a discussão feita acima.

Resposta

Veja a discussão acima.

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