Enunciado

Marte e a Terra têm um diâmetro médio de 6,9 × 10 3 k m e 1,3 × 10 4 k m , respectivamente. A massa de Marte é 0,11 vez a massa da Terra. (a) Qual é a razão entre a massa específica média de Marte e a da Terra? (b) Qual é o valor da aceleração gravitacional em Marte? (c) Qual é a velocidade de escape em Marte?

Passo 1

(a) A massa específica é dada por:

ρ = m V

Onde V será o volume de uma esfera de raio R , que é V = 4 3 π R 3 , e m a massa do planeta.

Ou seja, podemos substituir V :

ρ = m V

ρ = m 4 3 π R 3

ρ = 3 m 4 π R 3

Podemos, então, escrever a razão de densidades entre Marte e Terra:

ρ M ρ T = 3 m M 4 π R M 3 3 m T 4 π R T 3

Arrumando essa divisão de frações:

ρ M ρ T = 3 m M 4 π R M 3 × 4 π R T 3 3 m T

Cortando 3 e 4 π :

ρ M ρ T = m M m T × R T 3 R M 3

Passo 2

Precisamos conhecer a razão m M / m T . Foi dado no enunciado que: m M = 0,11 × m T . Logo:

m M m T = 0,11

Substituindo na equação anterior, temos:

ρ M ρ T = 0,11 × R T 3 R M 3

Passo 3

Como a gente sabe o valor do diâmetro dos planetas, é só dividir o valor por dois pra calcular o raio:

R M = D M 2

Substituindo o valor do enunciado:

R M = 6,9 2 × 10 3 k m

R M = 3,45 × 10 3 k m

Agora, para a Terra:

R T = D T 2

Substituindo o valor do enunciado:

R T = 1,3 2 × 10 4 k m

R T = 6,5 × 10 3 k m

Substituindo os valores na equação do passo anterior temos:

ρ M ρ T = 0,11 × 6,5 × 10 3 k m 3,45 × 10 3 k m 3

ρ M ρ T = 0,11 × 6,69

ρ M ρ T = 0,73

Passo 4

(b) Pela lei da gravitação universal, a gente pode escrever a aceleração gravitacional g M em Marte

g M = G M M R M 2

Não temos a massa de Marte M M , mas podemos escrever:

M M = 0,11 × M T

Também não temos a massa da terra, mas podemos escrever a equação para a aceleração da gravidade na Terra:

g T = G M T R M 2

E, isolando M T :

M T = g T R T 2 G

Assim, fazendo as substituições na equação pra gravidade de Marte, temos:

g M = G M M R M 2

g M = G × 0,11 × M T R M 2

Substituindo M T que achamos:

g M = G × 0,11 × g T R T 2 G R M 2

Cortamos G :

g M = 0,11 × g T R T 2 R M 2

g M = 0,11 × g T × R T R M 2

Substituindo os valores pra gravidade da Terra, raio da Terra e de Marte, a gente fica com

g M = 0,11 × 9,81 m / s 2 × 6,5 × 10 3 k m 3,45 × 10 3 k m 2

g M = 3,83 m / s 2

Passo 5

(c) Pra calcular a velocidade de escape de Marte v e M , a gente usa a fórmula abaixo

v e M = 2 G M M R M

Como vimos anteriormente, podemos substituir a massa de Marte:

v e M = 2 G × 0,11 × M T R M

v e M = 2 G × 0,11 × g T R T 2 G R M

E, cortando G :

v e M = 2 × 0,11 × g T R T 2 R M

Substituindo os valores pra gravidade da Terra, raio da Terra e de Marte, temos:

v e M = 2 × 0,11 × 9,81 m / s 2 × 6,5 2 × 10 6 m 2 3,45 × 10 6 m

v e M = 5,1 × 10 3 m / s

Resposta

(a) ρ M / ρ T = 0,73

(b) g M = 3,83 m / s 2

(c) v e M = 5,1 × 10 3 m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A força exercida pela terra sobre uma particula de massa m a uma distancia r( rR T ) do centro da Terra tem por magnitude m g R T 2 / r 2 , onde g = G M T / R T 2 . (a) Calcule o trabalho que você dev
O escritor de ficção cientifica Robert Heinlein disse uma vez: “Se você pode ser colocado em órbita, então você está a meio caminho de qualquer lugar”. Justifique esta afirmativa comparando a energia
Um corpo é largado, a partir do repouso, de uma altura de 4,0× 10 6m acima da superfície da Terra. Se não existe resistência do ar, qual é sua rapidez ao atingir a Terra?
Calcule a mínima rapidez necessária, em relação à Terra, para que um corpo lançado da superfície da Terra escape do sistema solar. A resposta dependerá da direção do lançamento. Explique a escolha de
Quando calculamos uma rapidez de escape, usualmente o fazemos na suposição de que o corpo lançado está isolado. Isto é, obviamente, geralmente incorreto no sistema solar. Mostre que a rapidez de escap