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Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman - Capítulo 11.Problemas - Ex. 77

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Um engenheiro está projetando um sistema de esteira para transportar fardos de feno para

dentro de um vagão (Figura 11.57). Cada fardo possui largura de 0,25 m, altura de 0,50 m, profundidade de 0,80 m (dimensão perpendicular ao plano da figura) e massa de 30,0 kg. O centro de gravidade de cada fardo está em seu centro geométrico. O coeficiente de atrito estático entre o fardo de feno e a esteira é igual a 0,60, e a esteira se move com velocidade uniforme.

a) O ângulo θ da esteira é lentamente aumentado. Para um dado ângulo crítico, o fardo pode tombar (caso não escorregue antes), e para outro ângulo crítico ele poderá escorregar (caso não tombe antes). Encontre esses dois ângulos críticos e diga o que ocorre para o menor ângulo.

b) Seria o resultado da parte (a) diferente, se o coeficiente de atrito fosse 0,40?

Passo 1

Vamos aplicar a primeira e a segunda condições de equilíbrio no fardo.

De inicio, devemos encontrar o ângulo em que o fardo começa a tombar. E como isso ocorre?? Quando começa a inclinar apenas o canto inferior esquerdo, o fardo faz contato com a correia transportadora.

Faremos algumas considerações

∑ τ A = 0

com o ponto A no canto inferior esquerdo. Isso implica que

τ n = 0   e   τ f = 0

Consequentemente,

τ m g = 0

Assim, temos a seguinte representação

Podemos calcular o ângulo

tan ⁡ β = 0,125   m 0,250   m

β = 27 °

No ângulo em que o fardo está pronto para descer, a inclinação f s tem o seu valor máximo possível. Assim temos a seguinte representação

Fazemos então a relação em y

∑ F y = m a

n - m g cos ⁡ β = m a

n = m g cos ⁡ β

Logo

f s = μ   m g cos ⁡ β

Onde f s tem valor máximo quando pacote está pronto para escorregar.

No eixo x temos,

∑ F x = m a

f s - m g sin ⁡ β = 0

Substituindo...

μ   m g cos ⁡ β - m g sin ⁡ β = 0

Então,

tan ⁡ β = μ  

tan ⁡ β = 0,60

Logo, β = 31 °

Passo 2

O coeficiente de atrito não entrou no cálculo do ângulo de inclinação, então ainda seria β = 27 ° . Na segunda parte sim, ficaria

tan ⁡ β = μ  

tan ⁡ β = 0,40

Logo, β = 22 ° .

Resposta

a) β = 27 °   e β = 31 °

b) β = 27 ° e β = 22 °

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