Enunciado

Enquanto um capacitor de placas paralelas circulares, de diâmetro 20   c m , está sendo carregado, a densidade de corrente de deslocamento através da região entre as placas é uniforme e tem módulo igual a 20   A / m 2 .

a. Calcular o módulo B do campo magnético numa distância r = 50   m m do eixo de simetria da região.

b. Calcular d E d t nesta região.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A densidade de corrente é definida como a corrente que passa pela superfície escolhida. O campo magnético fora do fio é proporcional à corrente fechada e inversamente proporcional à distância do fio. A corrente de deslocamento é um termo que aparece nas equações de Maxwell e estabelece a taxa de variação do campo de deslocamento elétrico. Nessa equação, temos o fluxo elétrico, medindo quanto do campo elétrico passa pela superfície escolhida:

J = I A   1

B = μ 0 I 2 π r   2

i d = ε 0 d ϕ E d t   3

ϕ E = E A   4

Passo 2

A - Como precisamos da corrente encerrada quando estamos na distância r, podemos primeiro resolver a primeira equação para I, multiplicando por J.

I = J A

Dizem-nos que as placas são circulares, antes de prosseguir, pense em qual seria a superfície apropriada para trabalhar ser. Nos casos de placas circulares usamos a superfície de um círculo r 2 π :

I = J r 2 π

Fazendo a substituição dos termos

I = 20 A m 2 ∙ 50   m m 2 ∙ π

Convertendo de milímetros para metros, obtemos

I = 20 A m 2 ∙ 50 × 10 - 3   m 2 ∙ π

Logo, temos que

I = 0,157   A

Agora temos todos os dados necessários para usar a segunda equação:

B = μ 0 I 2 π r

Novamente, fazendo a substituição

B = 4 π × 10 - 7 T ∙ m A ∙ 0,157 2 ∙ 50   m m ∙ π = 4 π × 10 - 7 T ∙ m A ∙ 0,157 2 ∙ ( 50 × 10 - 3   m ) ∙ π

Que tem como resultado

B = 6,28 × 10 - 7   T

Passo 3

B - Terminamos a primeira parte, mantenha o foco na próxima parte! A corrente de deslocamento é dada pela terceira equação, mas podemos repetir o processo da terceira etapa e expressar a corrente de deslocamento em termos da densidade da corrente de deslocamento novamente multiplicada pela superfície do círculo. Como ambas as expressões expressam a corrente de deslocamento, podemos simplesmente igualá-las:

ε 0 d ϕ E d t = J d r 2 π

Somos solicitados a encontrar a taxa de variação do campo elétrico, mas na equação acima está a taxa de variação do fluxo elétrico. Tente fazer a transição do fluxo elétrico para o campo elétrico sozinho e volte para verificar sua resposta. Para fazer a transição do fluxo elétrico para o campo elétrico, usamos a quarta equação:

ε 0 d ϕ E d t = ε 0 d ( E A ) d t

Como a superfície é constante, podemos reescrever a expressão acima como:

ε 0 d ϕ E d t = ε 0 A d E d t

Por fim, inserimos isso na equação do quinto passo, implementando a superfície de um círculo:

ε 0 r 2 π d E d t = J d r 2 π

A parte mais difícil acabou. Estamos interessados ​​na taxa de variação do campo elétrico d E d t e tudo o que resta é dividir a expressão acima por ε 0 A

d E d t = J d ε 0 A

Substituindo os termos

d E d t = 20 A m 2 8,85 × 10 - 12 C 2 N ∙ m 2 = 2,26 × 10 12 V m ∙ s

Resposta

a )   B = 6,28 × 10 - 7   T

b ) d E d t = 2,26 × 10 12 V m ∙ s

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