Enunciado

64. Ao entrarem em um carro, quatro passageiros com massa total igual a 250   k g comprimem em 4,0   c m as molas de um carro com amortecedores gastos. Considere o carro e os passageiros como um único corpo sobre uma única mola ideal. Sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a 1,08   s , qual é o período da oscilação do carro vazio?

Passo 1

O que temos nessa situação, nada mais é que um M H S , assim o período desse movimento, pode ser achado da seguinte forma:

T = 2 π m k

O enunciado nos fala que o período de oscilação do carro mais os passageiros é de 1,08   s , então a fórmula acima para a nossa situação fica:

1,08 = 2 π M + 250 k

Onde M é massa do carro.

Olhando a equação acima, basta isolar o M e descobrir seu valor, mas antes disso temos que achar o valor de k , já que o enunciado não fornece.

Para achar k podemos usar o fato que o carro está em equilíbrio, então a força peso dos passageiros (já que é o peso deles que causa a deformação na mola), junto com a força elástica das molas fazem a força resultante ser zero, matematicamente temos:

m g - k x = 0

Assim, temos que:

k x = m g

Agora basta isolar o k ná equação e substituir os valores de x , que é o deslocamento que os passageiros atribuíram as molas falada no enunciado, m e g .

Quando acharmos a massa do carro vazio, basta usar a mesma fórmula do período mencionada acima, levando em consideração apenas a massa do carro, encontrando assim o período de oscilação do carro.

Passo 2

Vamos começar achando a constante k , do passo 1 , temos a seguinte equação:

k x = m g

Isolando k , temos:

k = m g x

Substituindo m ,   g e x por seus respectivos valores, temos:

k = 250 * 9,8 0,04

⇒ k = 61250   N / m

Passo 3

Agora que temos o valor de k , vamos usar isolar o M , na fórmula mostrada no passo 1 e encontrar seu valor. Temos:

1,08 = 2 π M + 250 k

⇒ M + 250 k = 1,1664 4 π 2

⇒ M = 0,2916 π 2 k - 250

Substituindo o valor de k .

M = 0,2916 π 2 61250 - 250

⇒ M = 1559,64   k g

Passo 4

Agora podemos calcular o período de oscilação do carro vazio tranquilamente, temos que:

T = 2 π M k

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

T = 2 π 1559,64 61250

⇒ T = 1,00   s

Resposta

T = 1,00   s

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