Enunciado

Uma escada homogênea com 5,0   m de comprimento e 400   N de peso está apoiada em uma parede vertical sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre o chão e o pé da escada é 0,46 . Qual é a maior distância a que o pé da escada pode estar da base da parede sem que a escada escorregue?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação:

A questão quer saber o seguinte: até onde podemos aumentar d sem que a escada escorregue? Isso é o mesmo que perguntar: qual o máximo valor de d que não impede o equilíbrio do sistema?

A dica está aí: temos que usar as equações do equilíbrio: a soma dos torques tem que ser nula, e a soma das forças tem que ser nula.

Passo 2

Vamos começar usando o equilíbrio das forças. Vamos dar nome às forças e aos ângulos envolvidos.

O equilíbrio tem que acontecer em todas as direções. Vamos começar pelas forças horizontais, escolhendo um dos sentidos como sendo positivo:

∑ F x = f a t - N 2 = 0

E as forças verticais, também escolhendo um dos sentidos como positivo:

∑ F y = P - N 1 = 0

E daí temos:

f a t = N 2

N 1 = P

Vamos dividir uma equação do sistema pela outra, pra ficarmos com uma igualdade só:

f a t N 1 = N 2 P

Mas como f a t = μ ( N 1 ) , podemos adicionar mais um termo na igualdade!

f a t N 1 = μ = N 2 P

Beleza. Agora vamos para o equilíbrio dos torques.

Passo 3

Para calcular os torques, precisamos colocar um referencial em algum lugar. Uma dica: é sempre bom colocar o referencial em cima de um ponto que não queremos calcular E que não conhecemos.

Nesse caso, não conhecemos as forças em nenhuma das pontas da escada, mas seria bom achar o valor de N 2 pra substituir na equação de cima. Então vamos colocar o pé em cima de N 1 .

∑ τ = N 1 0 + P L 2 se n ⁡ α - N 2 L se n ⁡ θ = 0

Obs.: Lembre que é preciso multiplicar pelos senos dos ângulos que as forças fazem com a escada!

Agora, olhando para os diagramas acima, veja o seguinte:

L . s e n α   = d

L . s e n θ = h

Onde h é a altura com que a escada toca a parede, e d é a distância entre a parede e o pé da escada.

Ou seja:

P L 2 s e n α = N 2 L s e n ( θ )

P d 2 = N 2 h

Passo 4

Agora vamos ver o que nós temos. Pelo equilíbrio das forças achamos:

f a t N 1 = μ = N 2 P

E pelo equilíbrio dos torques achamos:

P . d 2 = N 2 . h

Substituindo uma na outra pra achar d :

μ = P . d 2 . h P = d 2 h

Agora isolando d :

μ = d 2 h

E o único problema agora é achar h , mas pelo teorema de Pitágoras:

h = L 2 - d 2

E substituindo na fórmula, fica:

μ = d 2 L 2 - d 2

Agora vamos isolar d :

μ 2 = d 2 4 ( L 2 - d 2 )

4 L 2 μ 2 - 4 d 2 μ 2 = d 2

d 2 = 4 L 2 μ 2 ( 1 + 4 μ 2 )

Agora substituindo os valores:

d = 4 L 2 μ 2 ( 1 + 4 μ 2 ) = 4 5,0 2 0,46 2 ( 1 + 4 0,46 2 ) = 3,4   m

Pronto!

Resposta

A distância máxima é d = 3,4   m

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