Enunciado

6. ( a ) Escreva as eqs. da T L espacial em termos das coordenadas x 1 = x ,   x 2 = y ,   x 3 = z ,   x 0 = c t . Note que elas adquirem uma forma mais simétrica. ( b ) Usando a notação da parte ( a ) , mostre que a equação de ondas

Δ ψ - ∂ 2 ψ ∂ t 2 = 0

é invariante por uma T L espacial, mas não é invariante por uma transformação de Galileu.

Passo 1

Vamos para mais uma?

Então, primeiro para começarmos esse problema temos que saber quais são as equações das transformações de Lorentz dadas por:

x ' = γ ( x - v t )

y ' = y

z ' = z

t ' = γ t - v c 2 x

Se você reparar somente a coordenada no qual temos propagação é que sobre mudança com a transformação.

Para essa primeira parte do problema vamos precisar da seguinte informação:

β = v c

Para que nossa mudança de notação fique com uma cara melhor.

Andes de discutirmos o que fazer no item ( b ) vou corrigir um erro na equação de onda apresentada pelo enunciado, a forma correta da equação é a seguinte:

∇ 2 ψ - 1 c 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = 0

= ∇ 2 ψ - ∂ 2 ψ ∂ x 0 2 = 0

Onde

∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ∂ 2 ∂ x 3 2

E ψ é uma função de x 1 ,   x 2 , x 3 e x 0 .

Então, o item ( b ) quer que provemos que com a T L nós recaímos na mesma estrutura de equação de onda e com a transformação de galileu isso não acontece.

A transformação de galileu é da seguinte maneira quando temos a propagação em apenas um sentido.

x 1 ' = x 1 - β x 0

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

x 0 ' = x 0

Vamos para a luta!

Passo 2

Começando com o item ( a ) . Teremos que fazer a seguinte mudança de notação na T L .

x 1 = x ,   x 2 = y ,   x 3 = z ,   x 0 = c t

A T L é dada por:

x ' = γ ( x - v t )

y ' = y

z ' = z

t ' = γ t - v c 2 x

As primeiras três mudanças que são mais simples já nos levam ao seguinte:

x 1 ' = γ ( x 1 - v t )

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

t ' = γ t - v c 2 x 1

Mas como você pode reparar, a quarta mudança tira variável t da jogada quando ela está multiplicada por c , então na primeira e última equação podemos fazer as seguintes operações:

x 1 ' = γ x 1 - v c c t

c t ' = γ c t - c v c 2 x 1

Usando que β = v / c e que x 0 = c t , temos:

x 1 ' = γ x 1 - β x 0

x 0 ' = γ x 0 - β x 1

Prontinho, o item ( a ) já foi concluído com sucesso.

Passo 3

Agora para o item ( b ) teremos que fazer algumas considerações que vão facilitar nossa vida na hora de calcular.

Temos que ψ é um escalar, isso satisfaz que ψ x 1 , x 2 , x 3 ,   x 0 = ψ ( x 1 ' , x 2 ' , x 3 ' ,   x 0 ' ) .

Vamos considerar que estamos trabalhando com uma onda plana que se move na direção x 1 .

Mas por que isso? Você pode estar se perguntando, como temos o seguinte:

∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ∂ 2 ∂ x 3 2 ψ - ∂ 2 ψ ∂ x 0 2 = 0

= ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ∂ 2 ∂ x 3 2 - ∂ 2 ∂ x 0 2 ψ = 0

Quando fizermos a T L as derivadas parciais em relação a x 2 e x 3 , mudam da seguinte maneira:

∂ 2 ∂ x ' 2 2 = ∂ 2 ∂ x 2 2

∂ 2 ∂ x ' 3 2 = ∂ 2 ∂ x 3 2

Com isso o que vai nos importar saber as derivadas espaciais e temporal em termos das novas

variáveis x 1 ' e x 0 ' .

Passo 4

Nós temos a seguintes transformações de importância.

x 1 ' = γ x 1 - β x 0

x 0 ' = γ x 0 - β x 1

As derivadas espaciais e temporal em termos das novas variáveis são encontradas da seguinte maneira usando a regra da cadeia.

∂ ψ ∂ x 1 = ∂ ψ ∂ x 1 ' ∂ x 1 ' ∂ x 1 + ∂ ψ ∂ x 0 ' ∂ x 0 ' ∂ x 1 = γ ∂ ψ ∂ x 1 ' - γ β ∂ ψ ∂ x 0 '

∂ ψ ∂ x 0 = ∂ ψ ∂ x 1 ' ∂ x 1 ' ∂ x 0 + ∂ ψ ∂ x 0 ' ∂ x 0 ' ∂ x 0 = - γ β ∂ ψ ∂ x 1 ' + γ ∂ ψ ∂ x 0 '

Então as derivadas se relacionam da seguinte maneira:

∂ ∂ x 1 = γ ∂ ∂ x 1 ' - γ β ∂ ∂ x 0 '

∂ ∂ x 0 = - γ β ∂ ∂ x 1 ' + γ ∂ ∂ x 0 '

Achamos a relação para as derivadas de primeira ordem, agora falta encontrar para as de segunda ordem.

Passo 5

Para as derivadas de segunda ordem podemos fazer o seguinte:

∂ 2 ∂ x 1 2 = ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 1

∂ 2 ∂ x 0 2 = ∂ ∂ x 0 ∂ ∂ x 0

Substituindo com o que encontramos no passo anterior, temos:

∂ 2 ∂ x 1 2 = γ ∂ ∂ x 1 ' - γ β ∂ ∂ x 0 ' γ ∂ ∂ x 1 ' - γ β ∂ ∂ x 0 '

= γ 2 ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 2 '

∂ 2 ∂ x 0 2 = - γ β ∂ ∂ x 1 ' + γ ∂ ∂ x 0 ' - γ β ∂ ∂ x 1 ' + γ ∂ ∂ x 0 '

= γ 2 β 2 ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + ∂ 2 ∂ x 0 2 '

Agora substituindo isso que encontramos mais as derivadas em relação x 2 e x 3 na equação de onda do passo 3 , temos:

γ 2 ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 2 ' - β 2 ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 + 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 - ∂ 2 ∂ x 0 2 ' + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 ψ = 0

⇒ γ 2 ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 1 - β 2 - ∂ 2 ∂ x 0 2 ' ( 1 - β 2 ) + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 ψ = 0

Lembrando que:

γ = 1 1 - β 2

⇒ γ 2 = 1 1 - β 2

Assim nossa expressão fica da seguinte forma:

∂ 2 ∂ x 1 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 - ∂ 2 ∂ x 0 2 ' ψ = 0

Prontinho, como você pode ver a equação de onda mantém a forma mesmo depois da T L .

Passo 6

Agora temos que mostrar que isso não ocorre quando usamos a transformação de Galileu.

A transformação de Galileu é a seguinte, usando as novas notações.

x 1 ' = x 1 - β x 0

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

x 0 ' = x 0

Com isso já podemos tirar o seguinte:

∂ 2 ∂ x ' 2 2 = ∂ 2 ∂ x 2 2

∂ 2 ∂ x ' 3 2 = ∂ 2 ∂ x 3 2

∂ 2 ∂ x ' 0 2 = ∂ 2 ∂ x 0 2

Agora temos que ver a derivada espacial em termos da nova variável x 1 ' .

Analogamente ao que fizemos na T L , temos o seguinte:

∂ ψ ∂ x 1 = ∂ ψ ∂ x 1 ' ∂ x 1 ' ∂ x 1 + ∂ ψ ∂ x 0 ' ∂ x 0 ' ∂ x 1 = ∂ ψ ∂ x 1 ' - β ∂ ψ ∂ x 0 '

Temos então que:

∂ ∂ x 1 = ∂ ∂ x 1 ' - β ∂ ∂ x 0 '

A derivada de segunda ordem fica da seguinte maneira:

∂ 2 ∂ x 1 2 = ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 1

= ∂ ∂ x 1 ' - β ∂ ∂ x 0 ' ∂ ∂ x 1 ' - β ∂ ∂ x 0 '

= ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 ' 2

Passo 7

Agora substituindo isso que encontramos mais as derivadas em relação x 2 , x 3 e x 0 na equação de onda do passo 3 , temos:

∂ 2 ∂ x 1 ' 2 - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 - ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 ψ = 0

⇒ ∂ 2 ∂ x 1 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 - ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 ψ + - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 ψ = 0

Como você pode ver, a equação de onda não continua com a mesma forma que tínhamos antes da transformada de Galileu.

Resposta

( a )

x 1 ' = γ x 1 - β x 0

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

x 0 ' = γ x 0 - β x 1

( b )

Com a T L :

∂ 2 ∂ x 1 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 - ∂ 2 ∂ x 0 2 ' ψ = 0

Com a transformação de Galileu:

∂ 2 ∂ x 1 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 2 ' 2 + ∂ 2 ∂ x 3 ' 2 - ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 ψ + - 2 β ∂ ∂ x 1 ' x 0 + β 2 ∂ 2 ∂ x 0 ' 2 ψ = 0

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