Enunciado

Uma partícula instável se forma a partir de um raio cósmico na atmosfera superior da Terra e se desloca verticalmente de cima para baixo com velocidade igual a 0,99540 c em relação à Terra.

Um cientista em repouso na superfície terrestre verifica que essa partícula é criada a uma altura de   45   k m . a) Em relação ao cientista, quanto tempo a partícula leva para se deslocar 45   k m até a Terra? b) Use a fórmula da contração do comprimento para calcular a distância entre a partícula e a Terra no momento em que ela foi criada, em relação ao sistema de referência da própria partícula. c) No sistema de referência da partícula, qual é o intervalo de tempo desde o momento em que ela é criada até o instante em que ela atinge a superfície da Terra? Calcule esse tempo aplicando a fórmula da dilatação do tempo e também pela distância calculada no item (b). Os dois resultados concordam?

Passo 1

letra a)

Para o cientista, o tempo será:

d = v t

t = d v

t = 45 ⋅ 10 3 0,99540 3 ⋅ 10 8

t = 1,51 ⋅ 10 - 4   s

Passo 2

letra b)

No sistema de referência da partícula, a distância será:

l = l 0 γ

l = 1 - v 2 c 2 l 0

l = 1 - 0,99540 c 2 c 2 45000

l = 4310     m  

Passo 3

letra c)

No sistema de referência da partícula, o tempo será:

Δ t = γ Δ t '

Δ t = 1 1 - v 2 c 2 Δ t '

Δ t ' = 1 - v 2 c 2 Δ t

Δ t ' = 1 - 0,99540 c 2 c 2 1,51 ⋅ 10 - 4

Δ t ' = 1,44 ⋅ 10 - 5   s

Passo 4

Calculando agora a partir da distância:

l = v Δ t '

Δ t ' = l v

Δ t ' = 4310   0,99540 3 ⋅ 10 8

Δ t ' = 1,44 ⋅ 10 - 5   s

Passo 5

Os resultados concordam.

Resposta

letra a) t = 1,51 ⋅ 10 - 4   s

letra b) l = 4310     m  

letra c) Δ t ' = 1,44 ⋅ 10 - 5   s . Concordam.

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