Enunciado

  1. Escreva a lei da distribuição de Planck em termos da frequência f em vez do comprimento de onda λ para obter I ( f ) .
  2. Mostre que:
  3. ∫ 0 ∞ I λ d λ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 T 4

    em que I ( λ ) é a fórmula da distribuição de Planck da Equação ( 38.32 ) . (Sugestão: troque a variável de integração de λ para f .)

    Você precisará usar a seguinte integral obtida em tabelas:

    ∫ 0 ∞ x 3 e α x - 1   d x = 1 240 2 π α 4

  4. O resultado do item (b) é I , que possui a fórmula da lei de Stefan-Boltzmann, I = σ T 4 , indicada na equação ( 38.28 ) . Calcule a constante obtida no item (b) para mostrar que σ possui o valor dado na seção 38.8 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos começar?

Vou começar resgatando a lei da distribuição de Planck em termos do comprimento de onda:

I λ = 2 π h c 2 λ 5 e h c λ k T - 1

Para escrever essa lei em termos da frequência, precisamos lembrar da relação entre a frequência e o comprimento de onda:

c = λ f ∴ λ = c f

Então agora vou substituir todos os termos com λ por c / f :

I f = 2 π h c 2 c f 5 ( e h c c / f k T - 1 )    

I f = f c 5 2 π h c 2 e h f k T - 1 = 2 π h c 3 e h f k T - 1 f 5

Assim a expressão I em função de f é:

I f = 2 π h c 3 e h f k T - 1 f 5

Passo 2

Letra b)

Agora o problema pede para integrarmos I ( λ ) para mostrar aquele resultado. Bom, então vamos lá:

∫ 0 ∞ I λ d λ = ∫ 0 ∞ 2 π h c 2 λ 5 e h c λ k T - 1   d λ

E seguindo a sugestão do enunciado, vou trocar a variável de integração de d λ por d f .

A relação entre frequência e comprimento de onda é:

λ = c f

Aqui vamos encarar λ como se fosse uma função de f . Tipo y em função de x , saca? Se fosse assim, a função seria:

y = A x

E a derivada de y em função de x seria (considerando A constante, claro):

d y d x = - A x 2

E podemos ter o diferencial de y em função do diferencial de x :

d y = - A x 2 d x

A ideia aqui é fazer o mesmo: diferenciar o comprimento de onda em função da frequência. Partindo de λ = c / f e diferenciando dos dois lados temos:

d λ = - c f 2 d f

E substituindo no integrando vamos ter o seguinte:

∫ 0 ∞ I λ d λ = ∫ 0 ∞ 2 π h c 2 c f 5 e h f k T - 1   - c f 2 d f = ∫ 0 ∞ 2 π h f 3 c 2 e h f k T - 1 d f

= 2 π h c 2 ∫ 0 ∞ f 3 e h f k T - 1   d f

Agora vamos usar o resultado da integral que o enunciado nos deu:

∫ 0 ∞ x 3 e α x - 1   d x = 1 240 2 π α 4

Identificando que α = h / k T e x = f . Agora vou aplicar o resultado com os valores de α e x correspondentes:

∫ 0 ∞ I λ d λ = 2 π h c 2 .   1 240 2 π h 4 k T 4

Precisamos simplificar os termos semelhantes:

∫ 0 ∞ I λ d λ = 2 π 5 15 c 2 h 3 k T 4

E esse é o resultado que o problema pede para ser mostrado =D

Beleza?

Passo 3

Letra c)

Por fim o problema pede para calcular a constante σ . Comparando com a Lei de Stefan-Boltzmann temos:

I = σ T 4 = 2 π 5 15 c 2 h 3 k T 4

Podemos achar a constante σ em termos de c ,   h e k :

σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3

O valor das constantes são:

c = 3 × 10 8 m / s

h = 6,62 × 10 - 34 J . s

k = 1,3806 × 10 - 23 m 2 k g s - 2 K - 1

Colocando todos esses valores na expressão para σ e jogando na calculadora temos:

σ = 2 π 5 ( 1,3806 × 10 - 23 ) 4 15 3 × 10 8 2 6,62 × 10 - 34 3 = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4

Certo? Tranquilo até aqui?

Espero ter ajudado!

Bons estudos! =D

Resposta

a )   I f = 2 π h c 3 e h f k T - 1 f 5

b )   ∫ 0 ∞ I λ d λ = 2 π 5 15 c 2 h 3 k T 4

c ) 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4

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