Enunciado

Escreva um problema realista para o qual os gráficos x   v e r s u s   t e y   v e r s u s   t mostrados na FIGURA P4.77 representem movimento de um objeto. Tenha certeza de que sua resposta seja consistente com os gráficos. Depois resolva o problema proposto.

Passo 1

O primeiro gráfico a função x em relação a t é uma reta crescente, o que significa que a equação que descreve esse gráfico é:

x = a + b t

Ou seja, a velocidade do movimento do corpo é constante no eixo x , e como ela passa pelo zero, isso significa que a = 0 .

Para o outro gráfico, a função y é uma parábola com concavidade voltada para baixo com o vértice em 0 , significa que y depende quadraticamente de t , a equação será do tipo:

y = a + b t + c t 2

Mas como o vértice está em zero, isso significa que a = 0 , e b = 0 , e como a concavidade é voltada para baixo, c é uma constante negativa.

Passo 2

Podemos dizer que esse movimento é o lançamento de um projétil de uma altura qualquer, sendo que esse projétil só tende a cair, sem subir nenhuma unidade em y no inicio do lançamento, já que y começa em 0 e depois só decresce (se o projetil subisse um pouco antes de começar a cair, o lançamento teria um ângulo θ com a horizontal, mas nesse caso ele é θ = 0 ).

O problema pode ser o seguinte: Um canhão atira uma bala do alto de uma muralha com altura de 125   m , o ângulo que o canhão forma com a horizontal é θ = 0 ° , após um intervalo de tempo, a bala atinge o solo em x = 20   m , calcule a velocidade inicial do movimento da bala considerando que a posição da muralha está em x i = 0 . (Considere também que a posição inicial da bala é y i = 0 .)

Passo 3

Repare que o problema que escrevemos no Passo 2 não deu o valor do tempo que a bala leva para cair, e nos pede x que é a posição da bala em relação à muralha, então precisaremos desse tempo.

Vamos começar usando a equação para o eixo y :

y = y i + v y i t - 1 2 9,8   m / s 2 t 2  

A posição inicial da bala deve ser zero segundo a questão, então a final deve ser - 125   m , além disso, como dissemos no passo 1, o único termo que não é zero, é o que envolve t 2 , já que o vértice da parábola está no 0 . Isso significa que v y i = 0

O que está de acordo com o problema, já que o ângulo θ = 0 e então s e n θ = 0 .

A equação então fica:

- 125   m = - 1 2 9,8   m / s 2 t 2

Isolando t :

t = 2 125   m 9,8   m / s 2

Passo 4

Agora usamos a equação para o movimento no eixo x , como a aceleração é 0 :

x = x i + v x t

Sabemos que c o s θ = 1 , o que significa que:

v = v x c o s θ = v x

Toda a velocidade inicial aponta na direção x . Como x i = 0 , ficamos com:

x = v t

Isolando a velocidade:

v = x t

Substituindo t e o valor dado de x :

v = 20   m 2 125   m 9,8   m / s 2

A velocidade da bala vai ser:

v = 3,96   m / s

Essa vai ser a solução do nosso problema que criamos que condiz com os gráficos do enunciado. (Poderíamos ter usado g = 10   m / s , para que os valores fiquem exatamente iguais aos dos gráficos.)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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