Enunciado

27. Uma esfera de 20   k g encontra-se na origem, e outra esfera de 10   k g está em x ,   y = ( 20   c m ,   0   c m ) . Em que ponto ou pontos poderia ser colocada uma pequena massa a fim de que fosse nula a força gravitacional resultante sobre ela devido às esferas?

Passo 1

Então galera, primeiro vamos nos localizar, a esfera 1 de 20   k g está na origem, logo sua posição é x , y = ( 0   c m ,   0 c m ) e a esfera dois está na posição x ,   y = ( 20   c m ,   0   c m ) .

Olhando essas posições podemos esquecer o eixo y já que podemos considerar que as duas esferas estão no eixo x .

Para uma pequena massa não sofrer uma força gravitacional resultante teremos que a força causada por 1 nessa massa tem que ser igual a força causada por 2 nessa massa, então temos que:

F m 1 m = F m 2 m

Onde cada força aponta para uma direção já que a pequena massa estaria entre as duas esferas.

E por que isso nos ajuda? Então, se você pegara a expressão da força gravitacional, mostrada abaixo, você pode ver que ela depende da distância entre os objetos. E por conta disso poderemos descobrir a posição da massa.

F = G M m r 2

Para o nosso caso vamos considerar que a distância entre 1 e a massa pequena seja x (essa escolha foi devido ao fato de 1 está na origem do nosso sistema de coordenadas), consequentemente a distância entre essa massa pequena e 2 é 20   c m - x ou 0,2   m - x .

Com isso ficamos com:

G m 1 m x 2 = G m 2 m 0,2 - x 2

Agora essa resolver essa equação e encontrar o valor de x , pois assim achamos o ponto que a massa pode ficar sem ter uma força resultante sobre ela.

Passo 2

Vamos lá galera, temos o seguinte:

G m 1 m x 2 = G m 2 m 0,2 - x 2

⇒ m 1 x 2 = m 2 0,2 - x 2

⇒ m 2 x 2 = 0,2 - x 2 m 1

Abrindo um pouco mais, temos:

m 2 x 2 = 0,04 - 0,4 x + x 2 m 1

Substituindo os valores que temos para as massas.

( 10 ) x 2 = 0,04 - 0,4 x + x 2 ( 20 )

⇒ 10 x 2 = 0,8 - 8 x + 20 x 2

⇒ 10 x 2 - 8 x + 0,8 = 0

Olha só, a nossa velha amiga equação de segundo grau, ainda bem que já estamos cansados de resolver equações desse tipo, com isso temos que:

x 1 = 0,117   m

Ou

x 2 = 0,683   m

Olhando esses resultados vemos que x só pode ser igual 0,117   m já que com o outro valor a massa estaria depois de m 2 e com isso as duas massas estariam atraindo a pequena massa na mesma direção, logo ela teria uma força resultante para a esquerda.

Resposta

x = 0,117   m

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