Enunciado

Um aluno se propõe a estudar a força gravitacional suspendendo dois corpos esféricos de 100,0   k g nas extremidades inferiores dos cabos prendendo o teto de uma catedral alta e medindo a deformação dos cabos em relação à vertical. Os cabos de 45,00   metros de comprimento são presos ao teto a 1,0   m de distância. O primeiro corpo é suspenso, e sua posição é cuidadosamente medida. O segundo corpo é suspenso, e os dois se atraem gravitacionalmente. Qual foi a distância que o primeiro corpo se moveu horizontalmente a partir da sua posição inicial, por causa da atração gravitacional do outro? Sugestão: Tenha em mente que essa distância vai ser muito pequena e faça as aproximações adequadas.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Seja θ o ângulo que cada cabo faz com a vertical, L o comprimento do cabo, x a distância de cada corpo deslocada pela força gravitacional, e d = 1 m a distância original entre eles. Então r = d - 2 x é a separação dos corpos. Nós temos:

∑ F y = 0 :         T c o s ⁡ θ - m g = 0 ∑ F x = 0 :         T s i n ⁡ θ - G m m r 2 = 0

Então,

tan ⁡ θ = G m m r 2 m g

x L 2 - x 2 = G m g ( d - 2 x ) 2 x ( d - 2 x ) 2 = G m g L 2 - x 2

Passo 2

O fato G m g é numericamente pequeno. Esperamos que x seja muito pequeno em comparação com L e d, então podemos tratar o termo ( d - 2 x ) como d, e L 2 - x 2 como L 2 . Então temos:

x ( 1 m ) 2 = 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 100 k g 9.80 m s 2 ( 45.00 m ) x = 3.06 × 10 - 8 m

Resposta

3.06 × 10 - 8 m

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