Enunciado

Uma esfera homogênea de massa M está localizada próximo a uma barra fina e homogênea de massa m e comprimento L , como na figura 11-31. Determine a força gravitacional de atração exercida pela esfera sobre a barra.

Passo 1

Vem comigo que essa a gente vai matar no peito e chutar pro gol! Primeiramente, sabemos que o campo devido a esfera fora dela é o seguinte:

g = G M x 2 , onde x é a distância até o ponto

Passo 2

Agora vamos considerar um pedacinho da barra de massa d m a uma distância x do centro. Logo,

d F = g d m = G M x 2 d m  

Como estamos trabalhando com uma barra:

d m = λ d x , onde λ = m / L

d F = G M x 2 λ d x =   G M x 2 ⋅ m L d x

Passo 3

Por fim, vamos integrar do começo da barra x = a até o final x = a + L :

F = ∫ a a + L G M x 2 ⋅ m L d x

Isto é,

F = G M m L ⋅ ∫ a a + L 1 x 2 d x = G M m L ⋅ - 1 x | a a + L

Portanto,

F = G M m L - 1 a + L - - 1 a = G M m a ( a + L )

Resposta

F = G M m a ( a + L )

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