Enunciado

Uma das grandes descobertas em astronomia da última década foi a descoberta de planetas fora do sistema solar. Desde 1996, mais de 100 planetas foram descobertos orbitando estrelas além do Sol. Enquanto os próprios planetas podem ser vistos diretamente, telescópios podem detectar o pequeno movimento periódico da estrela, à medida que a estrela e o planeta orbitam em torno de seu centro de massa comum. (Isto é medido usando o efeito Doppler, que é discutido no Capítulo 15. Tanto o período deste movimento quanto a variação da rapidez da estrela neste tempo podem ser determinados observacionalmente. A massa da estrela é determinada a partir de sua luminância observada e da teoria de estruturas estelares. Iota Draconis é a oitava estrela mais brilhante da constelação do Dragão. Observações mostram que um planeta, com um período orbital de 1,50   a n o , orbita esta estrela. A massa de Iota Draconis é 1,05 M s o l . (a) Estime o comprimento (em UA) do semi-eixo maior desta órbita planetária. (b) Observa-se que a rapidez radial da estrela varia cerca de 592   m / s . Use conservação da quantidade de movimento para determinar a massa do planeta. Suponha uma órbita circular vista de lado, e que não hajam outros planetas orbitando Iota Draconis. Expresse a massa como múltiplo da massa de Júpiter.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Usando a terceira lei de Kepler, temos:

T 2 = 4 π 2 G M I D r 3

Relacionando com a massa do sol M S o l , temos:

T 2 = 4 π 2 M S o l G M I D M S o l r 3

T 2 = 4 π 2 G M S o l M I D M s o l r 3

Se nós medirmos o tempo em anos, a distância em A U e as massam em termos da massa do sol, temos:

4 π 2 G M S o l = 1

T 2 = 1 M I D M s o l r 3

Logo:

r = M I D M s o l T 2 1 / 3

Substituindo os valores, temos:

r = 1,05 M s o l M s o l 1,50   a n o s 2 1 / 3

r = 1,33   A U

Passo 2

Item (b):

Aplicando conservação de quantidade de movimento para o planeta de massa m e velocidade v e para a estrela de massa M I D e velocidade V , temos:

m v = M I D V

m = M I D V v

Sabemos que:

v = ∆ d ∆ t = 2 π r T

v = 2 π 1,33   A U ⋅ 1,5 ⋅ 10 11 m A U 1,5   a n o s ⋅ 365,24 d a n o ⋅ 24 h d ⋅ 3600 s h

v = 2,648 ⋅ 10 4 m / s

A massa será:

m = 1,05 M S o l 296   m / s 2,648 ⋅ 10 4 m / s

m = 1,05 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30 k g 0,0112

m = 2,336 ⋅ 10 28 k g

Relacionando com a massa de Júpiter, temos:

m M J = 2,336 ⋅ 10 28 k g 1,9 ⋅ 10 27 k g

m = 12,3   M J

Resposta

a ) r = 1,33   A U

b ) m = 12,3   M J

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