Enunciado

Uma esfera maciça com 36,0   N de peso sobe rolando um plano inclinado com um ângulo de 30,0 ° . Na base do plano inclinado, o centro de massa da esfera possui uma velocidade de translação de 4,90   m / s . (a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano? (b) Que distância a esfera sobre ao longo do plano? (c) A resposta do item (b) depende da massa da esfera?

Passo 1

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia em relação ao centro de massa de uma esfera é:

I C M = 2 5 M R 2

Como foi nos dado o peso, podemos encontrar a massa da esfera através de:

M = P g = 36 9,8

M = 3,67   kg

Passo 2

Como a esfera está rolando, então temos duas energias cinéticas associadas ao movimento. A energia cinética de rotação e de translação na base do plano é:

K = K r o t + K t r a n s

K = I C M ω 2 2 + M v c m 2 2

Lembrando que:

ω = v c m R

Então:

K = I C M v c m 2 2 R 2 + M v c m 2 2

Assim, substituindo os valores:

K = 2 5 3,67 R 2 4,9 2 2 R 2 + 3,67 4,9 2 2

K = 17,6 + 44,1

K = 61,7   J

Passo 3

Aplicando a lei de conservação da energia mecânica, temos que na altura máxima, a energia cinética inicial será toda transformada em energia potencial, assim:

M g H = 2 10 M v c m 2 + 1 2 M v c m 2

Dividindo os dois lados por M e lembrando que, por trigonometria, a altura é H = d sin ⁡ θ , então:

g   d s e n ⁡ θ = 7 10 v c m 2

Isolando d :

d = 7 v c m 2 10 1 g s e n ⁡ θ

E, por fim, substituindo os valores:

d = 7 × 4,9 2 10 × 9,8 × s e n ⁡ 30 °

d = 3,43   m

Passo 4

Como podemos perceber na equação para calcular a distância, a resposta não depende da massa da esfera.

d = 7 v c m 2 10 1 g sen ⁡ θ

Resposta

  1. K = 61,7   J ;
  2. d = 3,43   m ;
  3. N ã o .
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