Enunciado

Um pássaro de 500,0   g está voando horizontalmente a 2,25   m / s , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo a 25,0   c m abaixo do topo. A barra homogênea com 0,750   m de comprimento e massa de 1,50   k g está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro, que cai ao chão em seguida. Qual é a velocidade angular da barra

a) logo após ser atingida pelo pássaro e

b) assim que atinge o solo?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um pássaro de 500,0   g está voando horizontalmente a 2,25   m / s , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo a 25,0   c m abaixo do topo.

A barra homogênea com 0,750   m de comprimento e massa de 1,50   k g está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro, que cai ao chão em seguida.

Queremos calcular a velocidade angular da barra a) logo após ser atingida pelo pássaro e b) assim que atinge o solo.

Para isso, precisamos saber que o momento angular inicial L 0 é igual ao momento angular final L f (conservação do momento):

L 0 = L f

Passo 2

  1. Bom... essa é uma questão que envolve colisão com rotação. Portanto, iremos calcular o momento angular inicial e final e iguala-los.
  2. L 0 = L f

    O momento angular inicial é dado apenas pelo momento angular do pássaro antes de colidir com a barra.

    O pássaro pode ser considerado como uma partícula, por isso, seu momento angular inicial será:

    L 0 = m r v s e n θ

    Onde m é a massa do pássaro, r é o raio do movimento, v é a velocidade do pássaro e θ é o ângulo entre a barra e o chão.

    Imediatamente antes de colidir com a barra, o ângulo θ será 90 º , portanto o seno dará:

    s e n 90 º = 1

    E o raio do movimento será o comprimento da barra L menos 0,25 m , pois o passáro atinge a barra há uma distância de 25 c m da extremidade:

    r = L - 0,25

    Portanto, o momento angular inicial será:

    L 0 = m p a s ( L - 0,25 ) v

    Passo 3

    O momento angular final, após a colisão será apenas o momento angular da barra. Isso ocorre, pois o pássaro fica atordoado e cai em direção ao chão.

    Ou seja, após a colisão o pássaro fica sem velocidade nenhuma e portanto seu momento angular é zero.

    Já a barra, pode ser considerada como um corpo rígido e seu momento angular final será dado como:

    L f = I ω

    Onde I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

    Precisamos saber portanto o momento de inércia de uma barra. Mas antes tome cuidado com uma coisa!

    A barra irá rotacionar ao redor da sua extremidade, por isso, precisamos usar o momento de inércia de uma barra ao redor da sua extremidade, que é:

    I B a r r a e x t = m b a r r a L 2 3

    Portanto, o momento angular final será:

    L f = m b a r r a L 2 3 ω

    Igualando os momentos angulares, teremos:

    L 0 = L f

    m p a s ( L - 0,25 ) v =   1 3 m b a r r a L 2 ω

    Isolando ω:

    ω =   3 m p a s ( L - 0,25 ) v m b a r r a L 2

    Agora vamos resolver!

    Passo 4

    Substituindo os dados fornecidos pelo enunciado,

    ω =   3 × 0,5 × 0,75 - 0,25 × 2,25 1,5 × 0,75 2

    ω = 2   r a d / s

    Passo 5

  3. Agora, para encontrar a velocidade da barra no momento que ela atinge o solo, vamos considerar a barra como sendo nosso sistema aonde iremos conservar a energia mecânica.

No início, ela sai da posição vertical com a velocidade angular que encontramos no item anterior e no final atingirá o solo na posição horizontal.

Relacionando as energias envolvidas, temos:

E c 1 +   E p 1 =   E c 2 + E p 2

Para o cálculo da energia cinética, faremos:

E c =   I ω 2 2

Já para o cálculo da energia potencial, faremos:

E p =   m b a r r a g h c m

Passo 3

Aonde h c m é a altura do centro de massa, sendo assim, no início, na posição vertical, o centro de massa da barra estava a uma altura de L 2 do solo.

h c m 1 = L 2

E no final, com a barra na posição horizontal, teremos a altura do centro de massa como sendo zero, pois a barra estará toda no solo.

h c m 2 = 0

Portanto, não há energia potencial gravitacional final.

E p 2 = 0

Agora, igualando as energias, teremos:

E c 1 +   E p 1 =   E c 2

I ω 1 2 2 + m b a r r a g L 2 = I ω 2 2 2

Multiplicando por 2 para ficar mais fácil e substituindo o momento de inércia pela expressão do momento de inércia de uma barra rotacionando ao redor de sua extremidade:

m b a r r a L 2 3 ω 1 2 + m b a r r a g L = m b a r r a L 2 3 ω 2 2

Cortando a massa e substituindo os valores:

0,75 2 3 2 2 + 9,8 × 0,75 = 0,75 2 3 ω 2 2

Sendo assim, encontraremos uma velocidade angular final de:

ω 2 = 43,2

ω 2 = 6,57 r a d / s

Resposta

  1. 2 r a d / s .
  2. 6,57   r a d / s .
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