Enunciado

Uma espessa taça de vinho apoiada sobre uma mesa pode ser considerada uma esfera oca de vidro com raio externo igual a 4,0   c m e raio interno de 3,40   c m . O índice de refração do vidro da taça é igual a 1,50 . (a) Um feixe de raios paralelos entra na taça vazia ao longo de um eixo horizontal. Caso se forme uma imagem, onde ela se forma? (b) A taça está cheia de vinho branco ( n = 1,37 ). Onde se forma a imagem?

Passo 1

A ideia é a seguinte, nós vamos aplicar essa fórmula aqui:

n a s + n b s ' = n b - n a R

Quatro vezes! A cada vez que a luz atravessa uma parede, ela forma uma imagem que serve de objeto virtual pra parede seguinte.

Vamos supor que o feixe de luz vem da esquerda pra direita.

Passo 2

Então tá, vamos começar com as contas.

Primeiro, temos os raios vindo de muito longe (já que são paralelos) e atravessando a primeira parede:

n a s 1 + n b s 1 ' = n b - n a R

1,00 ∞ + 1,50 s 1 ' = 1,50 - 1,00 3,4 + 0,6

Estamos fazendo s → ∞ , então a primeira fração se anula:

1,50 s 1 ' = 0,5 4,0

s 1 ' = 12   c m

Tá, então a imagem do primeiro processo está a 12   c m da primeira parede. Do lado direito da taça.

Dá pra afirmar que estamos do lado direito porque s 1 ' > 0 , então estamos do lado oposto ao objeto real.

E a regra é ao contrário para a posição do objeto. s > 0 significa que estamos do mesmo lado do objeto real, e vice-versa.

Então beleza, se estamos 12   c m à direita da primeira parede, a distância até a segunda parede é:

d = 12,0 - 0,60 = 11,4   c m

Mas já que o objeto real está à esquerda e essa imagem (que vai servir de objeto virtual) está à direita, a posição do objeto é:

s 2 = - 11,4   c m

Passo 3

Agora, aplicando a mesma equação:

n a s 2 + n b s 2 ' = n b - n a R

1,50 - 11,4 + 1,00 s 2 ' = - 0,50 3,40

s 2 ' = - 64,6   c m

Opa, sinal negativo na posição da imagem, então estamos do mesmo lado do objeto real: à esquerda da segunda parede.

Então a distância do objeto até a terceira parede é:

s 3 = 64,6 + 3,40 + 3,40 = 71,4   c m

E então podemos calcular s 3 '

n a s 3 + n b s 3 ' = n b - n a R

1,00 71,4 + 1,50 s 3 ' = 0,50 - 3,40

E o raio de curvatura também fica negativo, porque agora estamos do outro lado do centro de curvatura da parede.

s 3 ' = - 9,31   c m

Mais uma vez, sinal negativo quer dizer que a imagem está do lado esquerdo da terceira parede.

Então a distância total até a quarta parede é:

s 4 = 9,31 + 0,60 = 9,91   c m

Positivo porque estamos do mesmo lado do objeto real.

Passo 4

E assim a gente consegue calcular a posição da imagem final:

1,00 9,91 + 1,50 s 4 ' = 0,50 - 4 , 00

s 4 ' = - 37,9   c m

E como s 4 ' < 0 , essa última imagem é formada do mesmo lado do objeto real: à esquerda da taça.

Como a taça tem diâmetro total de 0,6 + 0,6 + 3,4 + 3,4 = 8,0 , a distância até a borda esquerda da taça é:

D = 37,9 - 8,0 = 29,9   c m

Passo 5

(b) Quando enchemos a taça de vinho, só o que muda é o índice de refração: ao invés de alterar entre 1,00 e 1,50 , vamos alternar também entre 1,37 e 1,50 .

É só copiar as fórmulas dos passos de cima!

Indo do ar para o vidro na primeira parede, a fórmula fica idêntica:

1,00 ∞ + 1,50 s 1 ' = 1,50 - 1,00 3,4 + 0,6

s 1 ' = 12   c m

E mais uma vez, a posição em relação à segunda lente fica:

s 2 = 0,60 - 12,0 - 11,4   c m

Passo 6

Na segunda parede, quando estamos indo do vidro para o vinho, a fórmula é:

n a s 2 + n b s 2 ' = n b - n a R

1,50 - 11,4 + 1 , 37 s 2 ' = - 0,13 3,40

s 2 ' = 14,7   c m

Sinal positivo, então a imagem está do lado direito da segunda parede. Então, agindo como objeto para a terceira parede, a posição é:

s 3 = - 14,7 - 3,40 - 3,40 = - 7,9   c m

E então, indo do vinho para o vidro:

1 , 37 - 7,9 + 1 , 50 s 3 ' = 0,13 - 3,40

s 3 ' = 11,1   c m

Sinal positivo, então a imagem fica do lado direito da terceira parede. Agindo como objeto para a quarta parede, a posição é:

s 4 = - 11,1 - 0,60 = - 10,50   c m

Então, indo do vidro para o ar:

1 , 50 - 10,50 + 1 s 4 ' = - 0,50 - 4,00

s 4 ' = 3,73   c m

E como esse resultado é positivo, isso quer dizer que a imagem final fica do lado direito da quarta parede.

Resposta

(a) A imagem final é formada 29,9   c m à esquerda da borda esquerda da taça.

(b) A imagem final é formada 3,73   c m à direita da borda direita da taça.

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