Enunciado

Como estagiário de engenharia civil, durante um de seus verões na faculdade, solicitam que você desenhe uma seção curva de uma estrada que atende às seguintes condições: quando há gelo na estrada, e o coeficiente de atrito estático entre a estrada e borracha é 0,080 , um carro em repouso não deve escorregar para dentro da vala e um carro viajando a menos de 60   k m / h não deve derrapar para fora da curva. Negligencie os efeitos do arrasto do ar e do atrito de rolamento. Qual é o mínimo raio de curvatura da curva e por qual ângulo a estrada deve ser inclinada?

Passo 1

No caso em que o carro está em repouso, o diagrama de forças fica da seguinte forma:

As forças tem que estar em equilíbrio nas duas direções, então:

∑ F x = N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = 0

∑ F y = N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ - m g = 0

Como queremos o caso limite, vamos supor que a força F a t já é o máximo atrito que pode haver com a superfície:

F a t = μ N

Substituindo isso na primeira equação:

N sen ⁡ θ - μ N cos ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = μ = 0,080

θ = 4,6 °

Passo 2

Falta calcular o raio de curvatura mínimo da curva. Nesse caso vamos usar o fato de que, quando um carro viaja com v = 60 k m h = 16,6 m s , ele está no limite em que não derrapa para fora da curva.

E o nosso diagrama fica um pouco diferente, dessa vez o atrito está agindo justamente para impedir a derrapagem:

E na direção x nós teremos uma resultante centrípeta, ao invés de uma resultante nula.

∑ F x = N sen ⁡ θ + F a t cos ⁡ θ = m v 2 r

∑ F y = N cos ⁡ θ - F a t sen ⁡ θ - m g = 0

Vamos substituir F a t = μ N nas duas equações e simplificar um pouco:

N sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ = m v 2 r

N cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ = m g

Temos que resolver esse sistema para encontrar r .

Passo 3

Dividindo a segunda equação pela primeira:

g r v 2 = cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

r = v 2 g cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

Substituindo os valores numéricos:

r = 16,6 2 9,81 ( 0,9904 ) 0,1599

r = 174   m ≅ 0,17   k m

Resposta

O raio de curvatura deve ser de no mínimo 0,17   k m e o ângulo de inclinação deve medir 4,6 ° .

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